Исследовать функцию y = x³ + (3/2)x² - 6x + 7 методами дифференциального исчисления и построить её график

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Исследуем функцию y = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + 7 методами дифференциального исчисления.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому область определения — вся числовая ось:
D(y) = (-\infty; +\infty).

2. Нахождение первой производной

Вычислим первую производную:
y' = \frac{d}{dx} \left( x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + 7 \right)

Применяя правило дифференцирования степенной функции:
y' = 3x^2 + 3x - 6.

3. Критические точки

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:
3x^2 + 3x - 6 = 0.

Решим квадратное уравнение:
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3}
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{6}
x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{6}
x = \frac{-3 \pm 9}{6}.

Получаем два корня:
x_1 = \frac{-3 + 9}{6} = 1,
x_2 = \frac{-3 - 9}{6} = -2.

4. Исследование на экстремумы

Найдем вторую производную:
y'' = \frac{d}{dx} (3x^2 + 3x - 6) = 6x + 3.

Подставим критические точки:

• y''(1) = 6(1) + 3 = 9 > 0 — точка минимума.
• y''(-2) = 6(-2) + 3 = -9 < 0 — точка максимума.

5. Нахождение экстремальных значений

Вычислим значения функции в найденных точках:

• y(1) = 1^3 + \frac{3}{2} \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 7 = 1 + \frac{3}{2} - 6 + 7 = \frac{5}{2}.
• y(-2) = (-2)^3 + \frac{3}{2} \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) + 7 = -8 + \frac{3}{2} \cdot 4 + 12 + 7 = 13.

Таким образом:

• В точке x = -2 функция имеет локальный максимум y = 13.
• В точке x = 1 функция имеет локальный минимум y = \frac{5}{2}.

6. Исследование на выпуклость и точки перегиба

Приравняем вторую производную к нулю:
6x + 3 = 0.

Решим уравнение:
x = -\frac{1}{2}.

Определим знак второй производной в окрестностях этой точки:

• При x < -\frac{1}{2} (например, x = -1):
  y''(-1) = 6(-1) + 3 = -3 (вогнутость вниз).
• При x > -\frac{1}{2} (например, x = 0):
  y''(0) = 6(0) + 3 = 3 (вогнутость вверх).

Следовательно, в точке x = -\frac{1}{2} функция имеет точку перегиба.

Вычислим значение функции в этой точке:
y\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{3}{2} \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 6 \left(-\frac{1}{2}\right) + 7.

Выполним вычисления:
y\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} + 3 + 7
= -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + 3 + 7 = \frac{2}{8} + 10 = \frac{81}{8}.

Таким образом, точка перегиба:
\left(-\frac{1}{2}, \frac{81}{8}\right).

7. Построение графика

График функции проходит через точки:

• Локальный максимум: (-2, 13).
• Локальный минимум: (1, \frac{5}{2}).
• Точка перегиба: \left(-\frac{1}{2}, \frac{81}{8}\right).

Функция убывает на (-\infty, -2), возрастает на (-2, 1) и снова возрастает на (1, +\infty).

Построение графика можно выполнить с помощью программ, например, Desmos или GeoGebra.