Исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление, исследование функций

Необходимо исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

Даны функции:

1. y = \frac{x^3 + 1}{x^2}
2. y = x^2 e^{\frac{1}{x}}

План исследования:

1. Область определения функции.
2. Асимптоты (если существуют).
3. Производная и критические точки.
4. Исследование на возрастание/убывание.
5. Вторая производная и точки перегиба.
6. Построение графика на основе полученных данных.

Я проведу исследование первой функции y = \frac{x^3 + 1}{x^2}.

I. Область определения

Функция имеет знаменатель x^2, который не должен быть равен нулю. Следовательно, область определения: x \neq 0, то есть D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}.

II. Асимптоты

1. Вертикальные асимптоты
   Знаменатель обращается в ноль при x = 0, а числитель x^3 + 1 при x = 0 не равен нулю.
   Следовательно, существует вертикальная асимптота:
   x = 0.

2. Горизонтальные и наклонные асимптоты
   Найдём предел при x \to \pm\infty:
    \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 1}{x^2} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \left( x + \frac{1}{x^2} \right) = x. 
   Так как предел стремится к x, наклонной асимптотой является прямая y = x.

III. Производная

Используем правило дифференцирования дроби:  y = \frac{x^3 + 1}{x^2}.  Найдем производную:  y' = \frac{(3x^2)(x^2) - (x^3 + 1)(2x)}{x^4} = \frac{3x^4 - 2x^4 - 2x}{x^4} = \frac{x^4 - 2x}{x^4}.  Упростим:  y' = 1 - \frac{2}{x^3}. 

IV. Критические точки и промежутки возрастания/убывания

Критические точки находятся из условия y' = 0:  1 - \frac{2}{x^3} = 0 \Rightarrow \frac{2}{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}.  Эта точка является критической.

Исследуем знаки производной:

• Если x > \sqrt[3]{2}, то y' > 0 (функция возрастает).
• Если 0 < x < \sqrt[3]{2}, то y' < 0 (функция убывает).
• Если x < 0, то y' > 0 (функция возрастает).

Следовательно, точка x = \sqrt[3]{2} является минимумом.

V. Вторая производная и точки перегиба

Найдем вторую производную:  y'' = \left( 1 - \frac{2}{x^3} \right)' = \frac{6}{x^4}.  Так как y'' > 0 при всех x \neq 0, функция выпуклая вверх на всей области определения.

VI. График функции

На основе проведенного исследования:

• Вертикальная асимптота: x = 0.
• Наклонная асимптота: y = x.
• Минимум в точке x = \sqrt[3]{2}.
• Функция возрастает при x > \sqrt[3]{2} и x < 0, убывает при 0 < x < \sqrt[3]{2}.
• Выпуклая вверх на всей области.

Теперь можно построить график.

Аналогично проводится исследование второй функции y = x^2 e^{\frac{1}{x}}. Если нужно, могу разобрать и её.