Докажите, что функция удовлетворяет уравнению

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Докажем, что функция z = \frac{x}{y} удовлетворяет уравнению:

x \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial z}{\partial y} = 0.

Шаг 1. Найдем первую частную производную \frac{\partial z}{\partial y}.

Функция z = \frac{x}{y} — это дробь, где x рассматривается как константа относительно y. Тогда:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{y} \right) = -\frac{x}{y^2}. 

Шаг 2. Найдем смешанную производную \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}.

Сначала вычислим первую производную \frac{\partial z}{\partial x}, где y — константа:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{y} \right) = \frac{1}{y}. 

Теперь найдем производную от \frac{\partial z}{\partial x} по y:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{y} \right) = -\frac{1}{y^2}. 

Шаг 3. Подставим найденные производные в уравнение.

Подставим \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{y^2} и \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} в уравнение:

 x \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial z}{\partial y} = x \left( -\frac{1}{y^2} \right) - \left( -\frac{x}{y^2} \right). 

Упростим выражение:

 x \left( -\frac{1}{y^2} \right) - \left( -\frac{x}{y^2} \right) = -\frac{x}{y^2} + \frac{x}{y^2} = 0. 

Шаг 4. Вывод.

Мы доказали, что функция z = \frac{x}{y} действительно удовлетворяет уравнению:

 x \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial z}{\partial y} = 0.