Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (частные производные)

Нам нужно доказать, что функция z = \frac{x}{y} удовлетворяет уравнению:

x \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial z}{\partial y} = 0.

Решение:

1. Найдём частную производную \frac{\partial z}{\partial y}:

Функция z = \frac{x}{y}. Рассматриваем x как константу, а y — как переменную. Тогда:

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x}{y}\right) = x \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right) = x \cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2}.

2. Найдём смешанную производную \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}:

Сначала найдём \frac{\partial z}{\partial x}:

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{y}.

Теперь найдём \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, дифференцируя \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y} по y:

\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y^2}.

3. Подставим найденные производные в уравнение:

Уравнение имеет вид:

x \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial z}{\partial y} = 0.

Подставляем значения:

x \cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right) - \left(-\frac{x}{y^2}\right) = 0.

Упростим выражение:

-\frac{x}{y^2} + \frac{x}{y^2} = 0.

Получаем тождество, следовательно, функция z = \frac{x}{y} действительно удовлетворяет данному уравнению.

Ответ:

Доказано, что функция z = \frac{x}{y} удовлетворяет уравнению x \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial z}{\partial y} = 0.