Дифференцирование сложных логарифмических и показательных функций

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление, производные сложных функций

Рассмотрим дифференцирование сложных логарифмических и показательных функций.

Задача 17:

Найти производную функции
$y={\log }_5(3x)$

Шаг 1: Используем формулу производной логарифма

Производная логарифмической функции с произвольным основанием $a$ имеет вид:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\ln a}$

В данном случае $f(x)=3x$, а основание логарифма $a=5$.

Шаг 2: Найдём производную внутренней функции

$f(x)=3x\Rightarrow f^{\prime }(x)=3$

Шаг 3: Подставляем в формулу

$y^{\prime }=\frac{3}{(3x)\ln 5}=\frac{1}{x\ln 5}$

Ответ:
$y^{\prime }=\frac{1}{x\ln 5}$

Задача 18:

Найти производную функции
$y={\lg }^{2}x$

Шаг 1: Используем метод дифференцирования сложной функции

Запишем функцию в виде:
$y=(\lg x{)}^2$

Обозначим $u=\lg x$, тогда $y=u^2$.

Шаг 2: Найдём производную внешней функции

Производная функции $u^2$:
$\frac{d}{dx}{u}^2=2u\cdot u^{\prime }$

Шаг 3: Найдём производную внутренней функции

Производная десятичного логарифма:
$\frac{d}{dx}\lg x=\frac{1}{x\ln 10}$

Шаг 4: Подставляем значения

$y^{\prime }=2\lg x\cdot \frac{1}{x\ln 10}$

Ответ:
$y^{\prime }=\frac{2\lg x}{x\ln 10}$

Задача 19:

Найти производную функции
$y=\ln \sqrt{x^2+4}$

Шаг 1: Преобразуем функцию

Используем свойство логарифма:
$\ln \sqrt{x^2+4}=\ln (x^2+4{)}^{\frac{1}{2}}$

По свойству логарифма:
$\ln a^b=b\ln a$

Получаем:
$y=\frac{1}{2}\ln (x^2+4)$

Шаг 2: Производная логарифма

Используем формулу:
$\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$

В данном случае $f(x)=x^2+4$, тогда
$f^{\prime }(x)=2x$.

Шаг 3: Подставляем в формулу

$y^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+4}=\frac{x}{x^2+4}$

Ответ:
$y^{\prime }=\frac{x}{x^2+4}$

Задача 20:

Найти производную функции
$y=\ln \ln x$

Шаг 1: Используем метод дифференцирования сложной функции

Обозначим $u=\ln x$, тогда
$y=\ln u$.

Шаг 2: Найдём производную внешней функции

Производная $\ln u$:
$\frac{d}{dx}\ln u=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$

Шаг 3: Найдём производную внутренней функции

Производная $\ln x$:
$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Шаг 4: Подставляем значения

$y^{\prime }=\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x}$

Ответ:
$y^{\prime }=\frac{1}{x\ln x}$

Вывод

Мы подробно разобрали применение правил дифференцирования сложных логарифмических функций, используя:

• Формулу производной логарифма
• Метод цепного дифференцирования
• Свойства логарифмов

Каждое решение сопровождается пошаговым объяснением.