Дифференцирование сложных логарифмических и показательных функций

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление, производные сложных функций

Рассмотрим дифференцирование сложных логарифмических и показательных функций.

Задача 17:

Найти производную функции
y = \log_5 (3x)

Шаг 1: Используем формулу производной логарифма

Производная логарифмической функции с произвольным основанием a имеет вид:

\frac{d}{dx} \log_a f(x) = \frac{f'(x)}{f(x) \ln a}

В данном случае f(x) = 3x, а основание логарифма a = 5.

Шаг 2: Найдём производную внутренней функции

f(x) = 3x \Rightarrow f'(x) = 3

Шаг 3: Подставляем в формулу

y' = \frac{3}{(3x) \ln 5} = \frac{1}{x \ln 5}

Ответ:
y' = \frac{1}{x \ln 5}

Задача 18:

Найти производную функции
y = \lg^2 x

Шаг 1: Используем метод дифференцирования сложной функции

Запишем функцию в виде:
y = (\lg x)^2

Обозначим u = \lg x, тогда y = u^2.

Шаг 2: Найдём производную внешней функции

Производная функции u^2:
\frac{d}{dx} u^2 = 2u \cdot u'

Шаг 3: Найдём производную внутренней функции

Производная десятичного логарифма:
\frac{d}{dx} \lg x = \frac{1}{x \ln 10}

Шаг 4: Подставляем значения

y' = 2 \lg x \cdot \frac{1}{x \ln 10}

Ответ:
y' = \frac{2 \lg x}{x \ln 10}

Задача 19:

Найти производную функции
y = \ln \sqrt{x^2 + 4}

Шаг 1: Преобразуем функцию

Используем свойство логарифма:
\ln \sqrt{x^2 + 4} = \ln (x^2 + 4)^{\frac{1}{2}}

По свойству логарифма:
\ln a^b = b \ln a

Получаем:
y = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 4)

Шаг 2: Производная логарифма

Используем формулу:
\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}

В данном случае f(x) = x^2 + 4, тогда
f'(x) = 2x.

Шаг 3: Подставляем в формулу

y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 4} = \frac{x}{x^2 + 4}

Ответ:
y' = \frac{x}{x^2 + 4}

Задача 20:

Найти производную функции
y = \ln \ln x

Шаг 1: Используем метод дифференцирования сложной функции

Обозначим u = \ln x, тогда
y = \ln u.

Шаг 2: Найдём производную внешней функции

Производная \ln u:
\frac{d}{dx} \ln u = \frac{1}{u} \cdot u'

Шаг 3: Найдём производную внутренней функции

Производная \ln x:
\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}

Шаг 4: Подставляем значения

y' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}

Ответ:
y' = \frac{1}{x \ln x}

Вывод

Мы подробно разобрали применение правил дифференцирования сложных логарифмических функций, используя:

• Формулу производной логарифма
• Метод цепного дифференцирования
• Свойства логарифмов

Каждое решение сопровождается пошаговым объяснением.