Дифференцирование сложных функций

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (Дифференцирование сложных функций)

Нам необходимо продифференцировать функцию из пункта 24:

 y = x^2 e^x + 2x^2 

Разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Определение правил дифференцирования

При нахождении производной данной функции нам понадобятся следующие правила:

1. Производная суммы:
    (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) 
   То есть, производная суммы двух функций равна сумме их производных.

2. Производная произведения:
   Если у нас есть две функции  f(x)  и  g(x) , их производная находится по формуле:
    (f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) 
   Это называется правило производной произведения.

3. Производная показательной функции:
   Производная экспоненты  e^x  равна самой себе:
    (e^x)' = e^x 

4. Производная степенной функции:
    (x^n)' = n x^{n-1} 
   Например,  (x^2)' = 2x .

Шаг 2: Дифференцирование первого слагаемого

Первое слагаемое — это  x^2 e^x . Оно представляет собой произведение двух функций:

•  f(x) = x^2 
•  g(x) = e^x 

Используем правило производной произведения:
 (x^2 e^x)' = (x^2)' e^x + x^2 (e^x)' 

Теперь найдем отдельно производные:

•  (x^2)' = 2x 
•  (e^x)' = e^x 

Подставляем:
 (x^2 e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x 

Шаг 3: Дифференцирование второго слагаемого

Второе слагаемое — это  2x^2 . Используем правило степенной функции:

 (2x^2)' = 2 \cdot (x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x 

Шаг 4: Запись окончательного ответа

Теперь складываем найденные производные:

 y' = (2x e^x + x^2 e^x) + 4x 

Можно вынести общий множитель  e^x :

 y' = e^x (2x + x^2) + 4x 

Это и есть окончательный ответ.

Вывод:

Мы использовали правило суммы, правило производной произведения, производную степенной функции и производную экспоненты. В результате получили производную данной функции.