Дифференциальное исчисление (производные сложных функций)

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (производные сложных функций)

Рассмотрим задание пункт 31:
Нам дана функция:
 y = \arcsin(\ln x) 

Наша цель — найти производную этой функции, то есть  \frac{dy}{dx} .

Шаг 1: Вспоминаем правило дифференцирования арксинуса

Производная функции арксинуса  \arcsin u  имеет следующий вид:
 \frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} 

Здесь u — это внутренняя функция, которая тоже зависит от x, поэтому нам нужно дополнительно найти её производную.

Шаг 2: Определяем внутреннюю функцию и её производную

Внутренней функцией в данном случае является:
 u = \ln x 

Вспоминаем, что производная натурального логарифма  \ln x  равна:
 \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} 

Шаг 3: Подставляем в формулу производной арксинуса

Теперь используем основную формулу:
 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\ln x)^2}} \cdot \frac{1}{x} 

Шаг 4: Записываем окончательный ответ

 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \sqrt{1 - (\ln x)^2}} 

Вывод

Мы использовали правило дифференцирования сложной функции, а также формулы производных арксинуса и логарифма. В результате получили производную данной функции.