Дифференциальное исчисление, производные обратных тригонометрических функций

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление, производные обратных тригонометрических функций

Рассмотрим функцию из пункта 30:
 y = \operatorname{arctg}(x^3) 

Наша цель — найти производную этой функции, то есть  y' .

Шаг 1: Используем правило дифференцирования арктангенса

Производная функции  \operatorname{arctg}(u)  имеет следующую формулу:
 \frac{d}{dx} \operatorname{arctg}(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot u' 
где  u  — это внутренняя функция, зависящая от  x .

В нашем случае  u = x^3 .

Шаг 2: Находим производную внутренней функции

Внутренняя функция  u = x^3  имеет производную:
 u' = \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2 

Шаг 3: Подставляем в формулу производной арктангенса

Теперь подставляем все в основную формулу:
 y' = \frac{1}{1 + (x^3)^2} \cdot 3x^2 

Упрощаем знаменатель:
 (x^3)^2 = x^6 ,
поэтому:
 y' = \frac{3x^2}{1 + x^6} 

Ответ:

 y' = \frac{3x^2}{1 + x^6} 

Это и есть производная функции  y = \operatorname{arctg}(x^3) .