Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиx^2+z^2- 5yz + 3y = 46в точке Мо(1;2;-3).

Условие:

Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x^2+z^2- 5yz + 3y = 46 в точке Мо(1;2;-3).

Решение:

Давайте разберемся с поставленной задачей. Это задание относится к курсу высшей математики, в частности к разделу "Дифференциальная геометрия поверхностей". Наша цель — найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности \( F(x, y, z) = x^2 + z^2 - 5yz + 3y = 46 \) в точке \( M_0(1, 2, -3) \). ### Шаг 1: Проверим принадлежность точки \( M_0 \) поверхности Для начала подставим координаты точки \( M_0(1, 2, -3) \) в уравнение поверхности чтобы убедиться, что точка действительно принадлежит поверхности: \[ 1^2 + (-3)^2 - 5 \cdot 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = 46 \] Проверим: \[ 1 + 9 + 30 + 6 = 46 \] \[ 46 = 46 \] Все правильно, точка принадлежит поверхности. ### Шаг 2: Найдем частные производные функции \( F(x, y, z) \) Для определения уравнений касательной плоскости и нормали, нам нужны частные производные функции \( F \) по переменным \( x \), \( y \) и \( z \): \[ F(x, y, z) = x^2 + z^2 - 5yz + 3y - 46 \, \text{(вычтем все с одной стороны)} \] Найдем частные производные: \[ F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 2x \] \[ F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = -5z + 3 \] \[ F_z = \frac{\partial F}{\partial z} = 2z - 5y \] Вычислим значения частных производных в точке \( M_0(1, 2, -3) \): \[ F_x(1, 2, -3) = 2 \cdot 1 = 2 \] \[ F_y(1, 2, -3) = -5 \cdot (-3) + 3 = 15 + 3 = 18 \] \[ F_z(1, 2, -3) = 2 \cdot (-3) - 5 \cdot 2 = -6 - 10 = -16 \] ### Шаг 3: Уравнение касательной плоскости Уравнение касательной плоскости в точке \( M_0(x_0, y_0, z_0) \) к поверхности \( F(x, y, z) = 0 \) можно записать как: \[ F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0 \] Подставляем значения: \[ 2(x - 1) + 18(y - 2) - 16(z + 3) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 2x - 2 + 18y - 36 - 16z - 48 = 0 \] Приведем подобные: \[ 2x + 18y - 16z - 86 = 0 \] ### Шаг 4: Уравнение нормали Уравнение нормали к поверхности в точке \( M_0 \) имеет вид параметрического уравнения: \[ \frac{x - x_0}{F_x(x_0, y_0, z_0)} = \frac{y - y_0}{F_y(x_0, y_0, z_0)} = \frac{z - z_0}{F_z(x_0, y_0, z_0)} \] Подставляем значения: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{18} = \frac{z + 3}{-16} \] Мы получили требуемые уравнения касательной плоскости и нормали: 1. Уравнение касательной плоскости: \(2x + 18y - 16z - 86 = 0\) 2. Уравнение нормали: \(\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{18} = \frac{z + 3}{-16}\) Надеюсь, объяснение было понятным и полезным!