Нахождение точки на данной кривой, где радиус кривизны минимален

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальная геометрия

Задача состоит в нахождении точки на данной кривой, где радиус кривизны минимален. Также требуется построить сопрягающуюся окружность в этой точке.

Шаг 1. Задана кривая

Уравнение кривой:
x = \frac{y^2}{4} + 2

Шаг 2. Формула радиуса кривизны

Радиус кривизны R выражается через первую и вторую производные функции следующим образом:
R = \frac{\left(1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2\right)^{3/2}}{\left|\frac{d^2x}{dy^2}\right|}

Здесь:

• \frac{dx}{dy} — первая производная x по y,
• \frac{d^2x}{dy^2} — вторая производная x по y.

Шаг 3. Найдём производные

1. Первая производная:
   \frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\frac{y^2}{4} + 2\right) = \frac{y}{2}

2. Вторая производная:
   \frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{1}{2}

Шаг 4. Подставляем производные в формулу для радиуса кривизны

Подставляем в формулу:
R = \frac{\left(1 + \left(\frac{y}{2}\right)^2\right)^{3/2}}{\left|\frac{1}{2}\right|} = 2\left(1 + \frac{y^2}{4}\right)^{3/2}

Шаг 5. Найдём значение y, при котором R минимален

Для минимизации радиуса кривизны нам нужно минимизировать выражение (1 + \frac{y^2}{4})^{3/2}. Поскольку (1 + \frac{y^2}{4}) возрастает с увеличением y, минимальное значение R достигается при y = 0.

Шаг 6. Найдём координаты точки

Подставляем y = 0 в уравнение кривой:
x = \frac{y^2}{4} + 2 = 2.

Итак, точка на кривой: (x, y) = (2, 0).

Шаг 7. Найдём радиус кривизны в этой точке

Подставляем y = 0 в формулу для радиуса кривизны:
R = 2\left(1 + \frac{0^2}{4}\right)^{3/2} = 2.

Шаг 8. Построение сопрягающейся окружности

Сопрягающаяся окружность — это окружность, касающаяся кривой в данной точке и имеющая радиус, равный радиусу кривизны.
Центр сопрягающейся окружности лежит на нормали к кривой в точке (2, 0), на расстоянии R = 2.

1. Уравнение нормали:
   Нормаль к кривой в точке (2, 0) перпендикулярна касательной. Касательная имеет наклон, равный \frac{dx}{dy} = \frac{0}{2} = 0, то есть горизонтальна. Нормаль, соответственно, вертикальна.

Итак, нормаль проходит через точку (2, 0) и имеет уравнение:
x = 2.

2. Центр окружности:
   Центр окружности находится на расстоянии R = 2 от точки (2, 0) вдоль нормали. Поскольку нормаль вертикальна, центр окружности:
   (2, -2).

3. Уравнение окружности:
   Окружность с центром (2, -2) и радиусом R = 2 имеет уравнение:
   (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4.

Итог

1. Точка, в которой радиус кривизны минимален: (2, 0).
2. Радиус кривизны в этой точке: R = 2.
3. Уравнение сопрягающейся окружности: (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4.

Рисунок

• Постройте кривую x = \frac{y^2}{4} + 2.
• Отметьте точку (2, 0).
• Постройте окружность с центром (2, -2) и радиусом R = 2.

Если нужна помощь в создании графика, уточните, и я помогу!