Вычислить предел выражения

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Пределы функций)

Нам нужно вычислить предел выражения при \( x \to 0 \):

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 2x}{\sqrt{4 + 2x} - 2}. \]

Шаг 1. Подставим \( x = 0 \)

Если мы подставим \( x = 0 \) прямо в выражение:

\[ \frac{x^3 + 2x}{\sqrt{4 + 2x} - 2} \bigg|_{x = 0} = \frac{0^3 + 2 \cdot 0}{\sqrt{4 + 2 \cdot 0} - 2} = \frac{0}{0}. \]

Мы видим, что возникает неопределенность \( \frac{0}{0} \). Поэтому используем дополнительные методы анализа.

Шаг 2. Использование рационализации знаменателя

Чтобы убрать корень в знаменателе, умножим и разделим дробь на сопряженное выражение знаменателя \( \sqrt{4 + 2x} + 2 \):

\[ \frac{x^3 + 2x}{\sqrt{4 + 2x} - 2} \cdot \frac{\sqrt{4 + 2x} + 2}{\sqrt{4 + 2x} + 2} = \frac{(x^3 + 2x)(\sqrt{4 + 2x} + 2)}{(\sqrt{4 + 2x} - 2)(\sqrt{4 + 2x} + 2)}. \]

Используем формулу разности квадратов в знаменателе:

\[ (\sqrt{4 + 2x} - 2)(\sqrt{4 + 2x} + 2) = (4 + 2x) - 4 = 2x. \]

Теперь дробь принимает вид:

\[ \frac{(x^3 + 2x)(\sqrt{4 + 2x} + 2)}{2x}. \]

Шаг 3. Упрощение дроби

В числителе мы можем вынести \( x \) за скобки:

\[ x^3 + 2x = x(x^2 + 2). \]

Таким образом, имеем:

\[ \frac{x(x^2 + 2)(\sqrt{4 + 2x} + 2)}{2x}. \]

Сокращаем \( x \) в числителе и знаменателе (\( x \neq 0 \)):

\[ \frac{(x^2 + 2)(\sqrt{4 + 2x} + 2)}{2}. \]

Шаг 4. Подставляем \( x = 0 \) в оставшееся выражение

При \( x \to 0 \):

• \( x^2 + 2 \to 2 \),
• \( \sqrt{4 + 2x} \to \sqrt{4} = 2 \).

Таким образом:

\[ \frac{(x^2 + 2)(\sqrt{4 + 2x} + 2)}{2} \bigg|_{x = 0} = \frac{2(2 + 2)}{2} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4. \]

Ответ:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 2x}{\sqrt{4 + 2x} - 2} = 4. \]