Решение функций нескольких переменных

Этот пример относится к разделу математического анализа, а именно к теме функций нескольких переменных.

Для начала найдем значение функции \( z = \tan^3(2x - 3y) \) в точке \( C\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \).

1. Подставьте значение точки \( (x, y) = \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \) в выражение \[ 2x - 3y = 2 \cdot \frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{\pi}{6} \]
2. Выполним арифметические операции внутри скобок: \[ 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \] \[ 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \]
3. Вычтем результаты: \[ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} \] Таким образом, выражение внутри скобок равно \( -\frac{\pi}{6} \).
4. Найдем тангенс от полученного значения: \[ \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) \] Вспоминаем тригонометрическое свойство: \( \tan(-\theta) = -\tan(\theta) \). А значение \( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Следовательно: \[ \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]
5. Подставим значение \( \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) \) в наше исходное выражение \( z = \tan^3(2x - 3y) \): \[ z = \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 = -\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 \]
6. Вычислим куб значения \( \frac{1}{\sqrt{3}} \): \[ \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 = \frac{1}{(\sqrt{3})^3} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} \]
7. Не забываем знак минус: \[ z = -\frac{\sqrt{3}}{9} \] Таким образом, значение функции \( z \) в точке \( C\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \) равно \( -\frac{\sqrt{3}}{9} \).