Определите условный экстремум функции

Данное задание относится к предмету математический анализ, а именно к разделу условные экстремумы функций с использованием метода множителей Лагранжа.

Шаг 1: Формулировка задачи

Мы хотим найти условный экстремум функции \( z = xy \) при условии, что \( x^2 + y^2 = 2 \). Здесь функция \( z = xy \) является нашей целевой функцией, а \( x^2 + y^2 = 2 \) является ограничением.

Шаг 2: Метод множителей Лагранжа

Для решения этой задачи будем использовать метод множителей Лагранжа. Сначала сформулируем функцию Лагранжа:

\[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = xy + \lambda (2 - x^2 - y^2) \]

где \(\lambda\) - множитель Лагранжа.

Шаг 3: Нахождение частных производных

Найдём частные производные функции Лагранжа по \( x \), \( y \) и \(\lambda\), приравняем их к нулю:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y - 2\lambda x = 0 \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - 2\lambda y = 0 \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 2 - x^2 - y^2 = 0 \]

Шаг 4: Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений:

1. \( y - 2\lambda x = 0 \)
2. \( x - 2\lambda y = 0 \)
3. \( 2 - x^2 - y^2 = 0 \)

Из первых двух уравнений выразим \( \lambda \):

\[ \lambda = \frac{y}{2x} \]

\[ \lambda = \frac{x}{2y} \]

Приравняем эти выражения:

\[ \frac{y}{2x} = \frac{x}{2y} \]

\[ y^2 = x^2 \]

Это значит, что \( y = x \) или \( y = -x \).

Шаг 5: Подстановка в ограничение

Подставим найденные значения \( y \) в ограничение \( x^2 + y^2 = 2 \):

Случай 1: \( y = x \)

\[ x^2 + x^2 = 2 \]

\[ 2x^2 = 2 \]

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = \pm 1 \]

Отсюда:

• если \( x = 1 \), то \( y = 1 \)
• если \( x = -1 \), то \( y = -1 \)

Случай 2: \( y = -x \)

\[ x^2 + (-x)^2 = 2 \]

\[ x^2 + x^2 = 2 \]

\[ 2x^2 = 2 \]

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = \pm 1 \]

Отсюда:

• если \( x = 1 \), то \( y = -1 \)
• если \( x = -1 \), то \( y = 1 \)

Шаг 6: Определение значений функции

Теперь найдём значения функции \( z = xy \) для всех найденных точек:

1. Точка \( (1, 1) \): \[ z = 1 \cdot 1 = 1 \]
2. Точка \( (-1, -1) \): \[ z = (-1) \cdot (-1) = 1 \]
3. Точка \( (1, -1) \): \[ z = 1 \cdot (-1) = -1 \]
4. Точка \((-1, 1)\): \[ z = (-1) \cdot 1 = -1 \]

Шаг 7: Ответ

Таким образом, функция \( z = xy \) при ограничении \( x^2 + y^2 = 2 \) имеет следующие экстремальные значения:

• Максимум \( z = 1 \) в точках \( (1, 1) \) и \( (-1, -1) \),
• Минимум \( z = -1 \) в точках \( (1, -1) \) и \((-1, 1)\).

Ответ:

Максимум функции \( z = xy \) при \( x^2 + y^2 = 2 \) составляет \( z = 1 \), Минимум функции \( z = xy \) при \( x^2 + y^2 = 2 \) составляет \( z = -1 \).