Найти все частные производные 2-го порядка

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные

Задание: Найти все частные производные второго порядка функции
z = \sqrt{2xy} + y^2

Шаг 1: Упростим выражение

z = \sqrt{2xy} + y^2 = (2xy)^{1/2} + y^2

Шаг 2: Найдём частные производные первого порядка

Частная производная по x:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (2xy)^{1/2} + y^2 \right) = \frac{1}{2}(2xy)^{-1/2} \cdot 2y + 0 = \frac{y}{\sqrt{2xy}} 

Частная производная по y:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (2xy)^{1/2} + y^2 \right) = \frac{1}{2}(2xy)^{-1/2} \cdot 2x + 2y = \frac{x}{\sqrt{2xy}} + 2y 

Шаг 3: Найдём вторые частные производные

Вторая производная по x:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{\sqrt{2xy}} \right) 

Рассмотрим f(x) = \frac{y}{\sqrt{2xy}} = y(2xy)^{-1/2}. Тогда:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y \cdot \frac{d}{dx} \left( (2xy)^{-1/2} \right) = y \cdot \left( -\frac{1}{2}(2xy)^{-3/2} \cdot 2y \right) = -\frac{y^2}{(2xy)^{3/2}} 

Смешанная производная \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{\sqrt{2xy}} \right) 

Используем правило произведения:

 \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{\sqrt{2xy}} \right) = \frac{1 \cdot \sqrt{2xy} - y \cdot \frac{1}{2}(2xy)^{-1/2} \cdot 2x}{2xy} 

Упростим:

 = \frac{\sqrt{2xy} - \frac{xy}{\sqrt{2xy}}}{2xy} = \frac{1}{2xy} \left( \sqrt{2xy} - \frac{xy}{\sqrt{2xy}} \right) 

Можно также выразить как:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{2xy} \cdot \left( \frac{2xy - xy}{\sqrt{2xy}} \right) = \frac{1}{2xy} \cdot \frac{xy}{\sqrt{2xy}} = \frac{1}{2\sqrt{2xy}} 

Вторая производная по y:

 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{\sqrt{2xy}} + 2y \right) 

Производная от \frac{x}{\sqrt{2xy}}:

 \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{\sqrt{2xy}} \right) = x \cdot \frac{d}{dy} \left( (2xy)^{-1/2} \right) = x \cdot \left( -\frac{1}{2}(2xy)^{-3/2} \cdot 2x \right) = -\frac{x^2}{(2xy)^{3/2}} 

И производная от 2y — это 2.

Итак:

 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{x^2}{(2xy)^{3/2}} + 2 

Ответ:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{y^2}{(2xy)^{3/2}} 

 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{2\sqrt{2xy}} 

 \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{1}{2\sqrt{2xy}} 

 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{x^2}{(2xy)^{3/2}} + 2