Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
z= √2xy+y^2 найти все частные производные 2-го порядка
Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные
Задание: Найти все частные производные второго порядка функции
z = \sqrt{2xy} + y^2
z = \sqrt{2xy} + y^2 = (2xy)^{1/2} + y^2
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (2xy)^{1/2} + y^2 \right) = \frac{1}{2}(2xy)^{-1/2} \cdot 2y + 0 = \frac{y}{\sqrt{2xy}}
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (2xy)^{1/2} + y^2 \right) = \frac{1}{2}(2xy)^{-1/2} \cdot 2x + 2y = \frac{x}{\sqrt{2xy}} + 2y
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{\sqrt{2xy}} \right)
Рассмотрим f(x) = \frac{y}{\sqrt{2xy}} = y(2xy)^{-1/2}. Тогда:
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y \cdot \frac{d}{dx} \left( (2xy)^{-1/2} \right) = y \cdot \left( -\frac{1}{2}(2xy)^{-3/2} \cdot 2y \right) = -\frac{y^2}{(2xy)^{3/2}}
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{\sqrt{2xy}} \right)
Используем правило произведения:
\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{\sqrt{2xy}} \right) = \frac{1 \cdot \sqrt{2xy} - y \cdot \frac{1}{2}(2xy)^{-1/2} \cdot 2x}{2xy}
Упростим:
= \frac{\sqrt{2xy} - \frac{xy}{\sqrt{2xy}}}{2xy} = \frac{1}{2xy} \left( \sqrt{2xy} - \frac{xy}{\sqrt{2xy}} \right)
Можно также выразить как:
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{2xy} \cdot \left( \frac{2xy - xy}{\sqrt{2xy}} \right) = \frac{1}{2xy} \cdot \frac{xy}{\sqrt{2xy}} = \frac{1}{2\sqrt{2xy}}
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{\sqrt{2xy}} + 2y \right)
Производная от \frac{x}{\sqrt{2xy}}:
\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{\sqrt{2xy}} \right) = x \cdot \frac{d}{dy} \left( (2xy)^{-1/2} \right) = x \cdot \left( -\frac{1}{2}(2xy)^{-3/2} \cdot 2x \right) = -\frac{x^2}{(2xy)^{3/2}}
И производная от 2y — это 2.
Итак:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{x^2}{(2xy)^{3/2}} + 2
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{y^2}{(2xy)^{3/2}}
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{2\sqrt{2xy}}
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{1}{2\sqrt{2xy}}
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{x^2}{(2xy)^{3/2}} + 2