Найти производные функции

Данное задание относится к предметной области математического анализа, к разделу дифференцирования функций.

У нас есть функция: \[ y = \left( 1 + \sqrt[3]{x} \right)^5 + e^{2x} \cdot \text{ctg}(3x) - 5 \]

Необходимо найти её производную: \( \frac{dy}{dx} \).

Шаг 1: Найдем производную первого слагаемого \(\left( 1 + \sqrt[3]{x} \right)^5\).

Используем правило цепочки для нахождения производной сложной функции \( \left( f(x) \right)^n \), где \( f(x) = 1 + \sqrt[3]{x} \), а \( n = 5 \).

\[ \frac{d}{dx} \left( f(x)^5 \right) = 5 \cdot f(x)^4 \cdot f'(x) \]

Теперь найдем \( f'(x) \) для \( f(x) = 1 + \sqrt[3]{x} = 1 + x^{1/3} \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + x^{1/3} \right) = 0 + \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

Подставляем это значение в формулу для производной:

\[ \frac{d}{dx} \left( 1 + \sqrt[3]{x} \right)^5 = 5 \cdot \left( 1 + \sqrt[3]{x} \right)^4 \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

Шаг 2: Найдем производную второго слагаемого \( e^{2x} \cdot \text{ctg}(3x) \).

Используем правило производной произведения:

\[ \frac{d}{dx} \left( u(x) \cdot v(x) \right) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]

Здесь \( u(x) = e^{2x} \), а \( v(x) = \text{ctg}(3x) \).

• Найдем \( u'(x) \):
• \[ u'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{2x} \right) = 2 \cdot e^{2x} \]
• Найдем \( v'(x) \), где \( v(x) = \text{ctg}(3x) \).
• Для производной котангенса используем формулу:
• \[ \frac{d}{dx} \left( \text{ctg}(x) \right) = -\frac{1}{\sin^2(x)} \]
• С учетом того, что мы дифференцируем \( \text{ctg}(3x) \), применяем правило цепочки:
• \[ v'(x) = \frac{d}{dx} \left( \text{ctg}(3x) \right) = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot 3 = -\frac{3}{\sin^2(3x)} \]
• Теперь можем найти полную производную второго слагаемого:
• \[ \frac{d}{dx} \left( e^{2x} \cdot \text{ctg}(3x) \right) = 2e^{2x} \cdot \text{ctg(3x)} - e^{2x} \cdot \left(- \frac{3}{\sin^2(3x)}\right) \]

Шаг 3: Константа \(-5\).

Производная константы равна нулю: \[ \frac{d}{dx}( -5 ) = 0 \]

Шаг 4: Запишем итоговую производную \( y' \).

\[ y' = 5 \cdot \left( 1 + \sqrt[3]{x} \right)^4 \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 2e^{2x} \cdot \text{ctg}(3x) - e^{2x} \cdot \frac{3}{\sin^2(3x)} \]