Найти производные

Условие:

Найти производные

Условие: Найти производные

Решение:

Данное задание относится к разделу математического анализа, а конкретнее — к нахождению производных сложных функций. Мы будем находить производную \(y(x)\) от данной функции. Функция дана как: \[y=(1+x3)5+e2xctg(3x)5\]
Шаг 1: Производная первого слагаемого.

Первое слагаемое: \[(1+x3)5\]

Здесь применяем правило цепочки: Если у нас есть функция вида (f(x))n, то производная будет: \[n(f(x))n1f(x)\] Так что, дифференцируем:

  1. Внешняя функция (1+x3)5. Ее производная будет \(5(1+x3)4\).
  2. Внутренняя функция 1+x3. Производная от 1 равна 0, а производная от x3=x1/3 равна \(13x2/3\).
  3. Теперь умножаем: \[5(1+x3)413x2/3=53(1+x3)4x2/3\]

Шаг 2: Производная второго слагаемого.

Второе слагаемое: \[e2xctg(3x)\] Мы находим производную произведения двух функций. Здесь применяется правило произведения: (uv)=uv+uv.

  1. Возьмем производную от \(e2x\): Производная от экспоненты \(e2x\) равна \(2e2x\).
  2. Теперь возьмем производную от \(ctg(3x)\): Производная от \(ctg(x)\) равна 1sin2(x), а для \(ctg(3x)\) нужно использовать правило цепочки, что даст: \[3sin2(3x)\]
  3. Теперь применим правило произведения: \[(e2xctg(3x))=2e2xctg(3x)+e2x(3sin2(3x))\] То есть: \[=2e2xctg(3x)3e2xsin2(3x)\]

Шаг 3: Производная третьего слагаемого.

Третье слагаемое: \[5\] Производная от константы всегда равна \(0\), поэтому здесь производная равна: \[0\]

Шаг 4: Итог.

Теперь складываем производные всех слагаемых: \[y(x)=53(1+x3)4x2/3+2e2xctg(3x)3e2xsin2(3x)\] Это и есть ответ на задачу.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут