Найти производные

Данное задание относится к разделу математического анализа, а конкретнее — к нахождению производных сложных функций. Мы будем находить производную $\text{(}{y}^{\prime }(x)\text{)}$ от данной функции. Функция дана как: $\text{[}y={(1+\sqrt[3]{x})}^5+e^{2x}\cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(3x)-5\text{]}$

Шаг 1: Производная первого слагаемого.

Первое слагаемое: $\text{[}{(1+\sqrt[3]{x})}^5\text{]}$

Здесь применяем правило цепочки: Если у нас есть функция вида $(f(x){)}^n$, то производная будет: $\text{[}n\cdot (f(x){)}^{n-1}\cdot f^{\prime }(x)\text{]}$ Так что, дифференцируем:

1. Внешняя функция $(1+\sqrt[3]{x}{)}^5$. Ее производная будет $\text{(}5\cdot (1+\sqrt[3]{x}{)}^4\text{)}$.
2. Внутренняя функция $1+\sqrt[3]{x}$. Производная от $1$ равна $0$, а производная от $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ равна $\text{(}\frac{1}{3}{x}^{-2/3}\text{)}$.
3. Теперь умножаем: $\text{[}5\cdot (1+\sqrt[3]{x}{)}^4\cdot \frac{1}{3}{x}^{-2/3}=\frac{5}{3}\cdot (1+\sqrt[3]{x}{)}^4\cdot x^{-2/3}\text{]}$

Шаг 2: Производная второго слагаемого.

Второе слагаемое: $\text{[}{e}^{2x}\cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(3x)\text{]}$ Мы находим производную произведения двух функций. Здесь применяется правило произведения: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$.

1. Возьмем производную от $\text{(}{e}^{2x}\text{)}$: Производная от экспоненты $\text{(}{e}^{2x}\text{)}$ равна $\text{(}2e^{2x}\text{)}$.
2. Теперь возьмем производную от $\text{(}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(3x)\text{)}$: Производная от $\text{(}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)\text{)}$ равна $-\frac{1}{{\sin }^2(x)}$, а для $\text{(}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(3x)\text{)}$ нужно использовать правило цепочки, что даст: $\text{[}-\frac{3}{{\sin }^2(3x)}\text{]}$
3. Теперь применим правило произведения: $\text{[}{(e^{2x}\cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(3x))}^{\prime }=2e^{2x}\cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(3\mathrm{x})+e^{2x}\cdot (-\frac{3}{{\sin }^2(3x)})\text{]}$ То есть: $\text{[}=2e^{2x}\cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(3\mathrm{x})-\frac{3e^{2x}}{{\sin }^2(3x)}\text{]}$

Шаг 3: Производная третьего слагаемого.

Третье слагаемое: $\text{[}-5\text{]}$ Производная от константы всегда равна $\text{(}0\text{)}$, поэтому здесь производная равна: $\text{[}0\text{]}$

Шаг 4: Итог.

Теперь складываем производные всех слагаемых: $\text{[}{y}^{\prime }(x)=\frac{5}{3}\cdot (1+\sqrt[3]{x}{)}^4\cdot x^{-2/3}+2e^{2x}\cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(3\mathrm{x})-\frac{3e^{2x}}{{\sin }^2(3x)}\text{]}$ Это и есть ответ на задачу.