Найти производные

Данное задание относится к разделу математического анализа, а конкретнее — к нахождению производных сложных функций. Мы будем находить производную \( y'(x) \) от данной функции. Функция дана как: \[ y = \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^5 + e^{2x} \cdot \mathrm{ctg}(3x) - 5 \]

Шаг 1: Производная первого слагаемого.

Первое слагаемое: \[ \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^5 \]

Здесь применяем правило цепочки: Если у нас есть функция вида (f(x))^n, то производная будет: \[ n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot f'(x) \] Так что, дифференцируем:

1. Внешняя функция (1 + \sqrt[3]{x})^5. Ее производная будет \(5 \cdot (1 + \sqrt[3]{x})^4\).
2. Внутренняя функция 1 + \sqrt[3]{x}. Производная от 1 равна 0, а производная от \sqrt[3]{x} = x^{1/3} равна \(\frac{1}{3} x^{-2/3}\).
3. Теперь умножаем: \[ 5 \cdot (1 + \sqrt[3]{x})^4 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{5}{3} \cdot (1 + \sqrt[3]{x})^4 \cdot x^{-2/3} \]

Шаг 2: Производная второго слагаемого.

Второе слагаемое: \[ e^{2x} \cdot \mathrm{ctg}(3x) \] Мы находим производную произведения двух функций. Здесь применяется правило произведения: (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'.

1. Возьмем производную от \(e^{2x}\): Производная от экспоненты \(e^{2x}\) равна \(2e^{2x}\).
2. Теперь возьмем производную от \(\mathrm{ctg}(3x)\): Производная от \(\mathrm{ctg}(x)\) равна -\frac{1}{\sin^2(x)}, а для \(\mathrm{ctg}(3x)\) нужно использовать правило цепочки, что даст: \[ -\frac{3}{\sin^2(3x)} \]
3. Теперь применим правило произведения: \[ \left( e^{2x} \cdot \mathrm{ctg}(3x) \right)' = 2e^{2x} \cdot \mathrm{ctg(3x)} + e^{2x} \cdot \left(-\frac{3}{\sin^2(3x)}\right) \] То есть: \[ = 2e^{2x} \cdot \mathrm{ctg(3x)} - \frac{3e^{2x}}{\sin^2(3x)} \]

Шаг 3: Производная третьего слагаемого.

Третье слагаемое: \[ -5 \] Производная от константы всегда равна \(0\), поэтому здесь производная равна: \[ 0 \]

Шаг 4: Итог.

Теперь складываем производные всех слагаемых: \[ y'(x) = \frac{5}{3} \cdot (1 + \sqrt[3]{x})^4 \cdot x^{-2/3} + 2e^{2x} \cdot \mathrm{ctg(3x)} - \frac{3e^{2x}}{\sin^2(3x)} \] Это и есть ответ на задачу.