Найти производную от функциив точкепо направлению вектора

Это задание по предмету "Математика", раздел "Дифференциальное исчисление" (частные производные и градиенты).

Нам нужно найти производную функции \( u = 3x e^{2y} \) в точке \( M(1, 0) \) по направлению вектора \(\mathbf{s} = (4, 3) \). Производная функции по направлению вектора называется направленной производной. Для нахождения направленной производной нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти градиент функции в точке \( M(1, 0) \).
2. Нормализовать вектор направления \(\mathbf{s}\), чтобы сделать его единичным.
3. Взять скалярное произведение градиента функции и нормализованного вектора направления.

Шаг 1: Нахождение градиента функции

Градиент функции \( u \) - это вектор, составленный из частных производных функции по \( x \) и \( y \): \[\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right)\] Найдем частные производные: \[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x e^{2y}) = 3 e^{2y}\] \[\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x e^{2y}) = 3x \cdot 2 e^{2y} = 6x e^{2y}\] Теперь найдем значение градиента в точке \( M(1, 0) \): \[\nabla u(1, 0) = \left( 3 e^{2 \cdot 0}, 6 \cdot 1 \cdot e^{2 \cdot 0} \right) = (3, 6)\]

Шаг 2: Нормализация вектора направления

Нормализуем вектор \(\mathbf{s} = (4, 3)\): \[|\mathbf{s}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] Единичный вектор в направлении \(\mathbf{s}\): \[\mathbf{e}_s = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)\]

Шаг 3: Скалярное произведение градиента и нормализованного вектора

Направленная производная вычисляется как скалярное произведение градиента и единичного вектора направления: \[\nabla u \cdot \mathbf{e}_s = (3, 6) \cdot \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right) = 3 \cdot \frac{4}{5} + 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5} + \frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6\] Ответ: Направленная производная функции \( u = 3x e^{2y} \) в точке \( M(1, 0) \) по направлению вектора \(\mathbf{s} = (4, 3) \) равна \( 6 \).