Найти производную функции

Данный вопрос относится к предмету математика, разделу дифференциальное исчисление. Необходимо найти производную функции:

Задание №2:

\[ y = \ln(e^x + \sqrt{e^{2x} - 1}) \]

---

Этап 1: Правило дифференцирования логарифма

Производная логарифма натурального логарифма \(\ln(u)\) равна:

\[ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \]

Здесь \(u = e^x + \sqrt{e^{2x} - 1}\). Сначала найдем производную \(u'\).

---

Этап 2: Анализ \(u\)

\[ u = e^x + \sqrt{e^{2x} - 1} \]

Производную будем брать по частям.

---

Подэтап 2.1: Производная \(e^x\)

Производная от \(e^x\) равна:

\[ \frac{d}{dx} e^x = e^x \]

---

Подэтап 2.2: Производная \(\sqrt{e^{2x} - 1}\)

Используем производную корня:

\[ \frac{d}{dx} \sqrt{v} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot v', \]

где \(v = e^{2x} - 1\). Находим \(v'\):

\[ v = e^{2x} - 1, \quad \frac{d}{dx} v = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}. \]

Подставляем:

\[ \frac{d}{dx} \sqrt{e^{2x} - 1} = \frac{1}{2\sqrt{e^{2x} - 1}} \cdot 2e^{2x}. \]

Сокращаем:

\[ \frac{d}{dx} \sqrt{e^{2x} - 1} = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x} - 1}}. \]

---

Подэтап 2.3: Производная \(u\)

Суммируем \(u'\):

\[ u' = e^x + \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x} - 1}}. \]

---

Этап 3: Производная \(y = \ln(u)\)

Используем формулу производной логарифма:

\[ y' = \frac{1}{u} \cdot u', \]

где \(u = e^x + \sqrt{e^{2x} - 1}\). Подставляем:

\[ y' = \frac{1}{e^x + \sqrt{e^{2x} - 1}} \cdot \left(e^x + \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x} - 1}}\right). \]

Записываем окончательно:

---

Ответ:

\[ y' = \frac{e^x + \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x} - 1}}}{e^x + \sqrt{e^{2x} - 1}}. \]