Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти частные производные первого порядка z=(2x+3y)/x-5y
Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные
Нам дана функция двух переменных:
z = \frac{2x + 3y}{x - 5y}
Нужно найти частные производные первого порядка по переменным x и y, то есть:
Это рациональная функция, поэтому применим правило дифференцирования частного:
Если z = \frac{u(x, y)}{v(x, y)}, то:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{v \cdot \frac{\partial u}{\partial x} - u \cdot \frac{\partial v}{\partial x}}{v^2}
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{v \cdot \frac{\partial u}{\partial y} - u \cdot \frac{\partial v}{\partial y}}{v^2}
Числитель: u = 2x + 3y
Знаменатель: v = x - 5y
\frac{\partial u}{\partial x} = 2
\frac{\partial v}{\partial x} = 1
\frac{\partial u}{\partial y} = 3
\frac{\partial v}{\partial y} = -5
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(x - 5y)(2) - (2x + 3y)(1)}{(x - 5y)^2}
Вычислим числитель:
2(x - 5y) - (2x + 3y) = 2x - 10y - 2x - 3y = -13y
Итак:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-13y}{(x - 5y)^2}
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(x - 5y)(3) - (2x + 3y)(-5)}{(x - 5y)^2}
Вычислим числитель:
3(x - 5y) + 5(2x + 3y) = 3x - 15y + 10x + 15y = 13x
Итак:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{13x}{(x - 5y)^2}
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-13y}{(x - 5y)^2}
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{13x}{(x - 5y)^2}