Найти частные производные первого порядка по переменным x и y

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные

Нам дана функция двух переменных:

z = \frac{2x + 3y}{x - 5y}

Нужно найти частные производные первого порядка по переменным x и y, то есть:

• \frac{\partial z}{\partial x}
• \frac{\partial z}{\partial y}

Это рациональная функция, поэтому применим правило дифференцирования частного:

Если z = \frac{u(x, y)}{v(x, y)}, то:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{v \cdot \frac{\partial u}{\partial x} - u \cdot \frac{\partial v}{\partial x}}{v^2} 

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{v \cdot \frac{\partial u}{\partial y} - u \cdot \frac{\partial v}{\partial y}}{v^2} 

Шаг 1: Обозначим числитель и знаменатель

Числитель: u = 2x + 3y
Знаменатель: v = x - 5y

Шаг 2: Найдём производные u и v

По x:

\frac{\partial u}{\partial x} = 2
\frac{\partial v}{\partial x} = 1

По y:

\frac{\partial u}{\partial y} = 3
\frac{\partial v}{\partial y} = -5

Шаг 3: Подставим в формулы

Частная производная по x:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(x - 5y)(2) - (2x + 3y)(1)}{(x - 5y)^2} 

Вычислим числитель:

 2(x - 5y) - (2x + 3y) = 2x - 10y - 2x - 3y = -13y 

Итак:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-13y}{(x - 5y)^2} 

Частная производная по y:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(x - 5y)(3) - (2x + 3y)(-5)}{(x - 5y)^2} 

Вычислим числитель:

 3(x - 5y) + 5(2x + 3y) = 3x - 15y + 10x + 15y = 13x 

Итак:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{13x}{(x - 5y)^2} 

Ответ:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-13y}{(x - 5y)^2} 

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{13x}{(x - 5y)^2}