Найти частные производные первого порядка функции

Данное задание относится к предмету математика, а точнее к разделу математического анализа, поскольку имеется задача на нахождение частных производных функции двух переменных.

Частные производные первого порядка показывают нам, как изменяется функция по одной переменной при фиксации другой переменной. Давайте находим частные производные данной функции \( z = x^3 + x\sin y - y^2 \) по \( x \) и по \( y \).

Частная производная по \( x \):

Чтобы найти частную производную функции \( z \) по \( x \), мы дифференцируем функцию по переменной \( x \), считая \( y \) константой.

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial x}(x\sin y) - \frac{\partial}{\partial x}(y^2) \]

Производная \( x^3 \) по \( x \) равна \( 3x^2 \), так как это стандартная производная степенной функции. Производная \( x\sin y \) по \( x \) равна \( \sin y \), так как \( \sin y \) — это константа относительно \( x \), и производная от \( x \) равна \( 1 \). Производная \( y^2 \) по \( x \) равна \( 0 \), так как \( y^2 \) не зависит от \( x \) и является константой по отношению к \( x \).

Следовательно, частная производная по \( x \) равна: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + \sin y \]

Частная производная по \( y \):

Теперь найдем частную производную функции \( z \) по \( y \), дифференцируя её по переменной \( y \), считая \( x \) константой.

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(x\sin y) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2) \]

Производная \( x^3 \) по \( y \) равна \( 0 \), так как \( x^3 \) не зависит от \( y \) и является константой по отношению к \( y \). Производная \( x\sin y \) по \( y \) равна \( x\cos y \), так как \( x \) здесь выступает как константа, а производная \( \sin y \) по \( y \) равна \( \cos y \). Производная \( y^2 \) по \( y \) равна \( 2y \), так как это стандартная производная степенной функции. Следовательно, частная производная по \( y \) равна: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x\cos y - 2y \]

Итак, частные производные первого порядка функции \( z = x^3 + x\sin y - y^2 \) равны: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + \sin y \] и \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x\cos y - 2y \]