Найти частные производные

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные, неявная функция

Нам дана функция:

f(x, y, z) = \arccos\left(\frac{z + 3}{x}\right) - x^3 e^{2y} = 0

Нужно найти частные производные \frac{\partial z}{\partial x} и \frac{\partial z}{\partial y}, предполагая, что z = z(x, y), то есть z — неявная функция от x и y.

Шаг 1: Продифференцируем по x

Продифференцируем уравнение по x, считая z = z(x, y):

 \frac{d}{dx} \left[ \arccos\left(\frac{z + 3}{x}\right) - x^3 e^{2y} \right] = 0 

Используем цепное правило:

 \frac{d}{dx} \arccos\left(\frac{z + 3}{x}\right) = \frac{-1}{\sqrt{1 - \left(\frac{z + 3}{x}\right)^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{z + 3}{x} \right) 

Найдём производную внутренней функции:

 \frac{d}{dx} \left( \frac{z + 3}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - (z + 3)}{x^2} 

Теперь дифференцируем вторую часть:

 \frac{d}{dx} \left( x^3 e^{2y} \right) = 3x^2 e^{2y} 

Теперь соберём всё:

 \frac{-1}{\sqrt{1 - \left(\frac{z + 3}{x}\right)^2}} \cdot \left( \frac{x \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - (z + 3)}{x^2} \right) - 3x^2 e^{2y} = 0 

Решим это уравнение относительно \frac{\partial z}{\partial x}:

Переносим второй член вправо:

 \frac{-1}{\sqrt{1 - \left(\frac{z + 3}{x}\right)^2}} \cdot \left( \frac{x \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - (z + 3)}{x^2} \right) = 3x^2 e^{2y} 

Умножим обе части на - \sqrt{1 - \left( \frac{z + 3}{x} \right)^2}:

 \frac{x \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - (z + 3)}{x^2} = -3x^2 e^{2y} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{z + 3}{x} \right)^2} 

Умножим обе части на x^2:

 x \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - (z + 3) = -3x^4 e^{2y} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{z + 3}{x} \right)^2} 

Теперь выразим \frac{\partial z}{\partial x}:

 x \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = (z + 3) - 3x^4 e^{2y} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{z + 3}{x} \right)^2} 

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(z + 3) - 3x^4 e^{2y} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{z + 3}{x} \right)^2}}{x} 

Шаг 2: Продифференцируем по y

Теперь продифференцируем исходное уравнение по y:

 \frac{d}{dy} \left[ \arccos\left(\frac{z + 3}{x}\right) - x^3 e^{2y} \right] = 0 

Опять используем цепное правило:

 \frac{d}{dy} \arccos\left(\frac{z + 3}{x}\right) = \frac{-1}{\sqrt{1 - \left(\frac{z + 3}{x}\right)^2}} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} 

А производная x^3 e^{2y} по y:

 \frac{d}{dy} \left( x^3 e^{2y} \right) = 2x^3 e^{2y} 

Теперь составим уравнение:

 \frac{-1}{\sqrt{1 - \left(\frac{z + 3}{x}\right)^2}} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} - 2x^3 e^{2y} = 0 

Переносим второй член:

 \frac{-1}{\sqrt{1 - \left(\frac{z + 3}{x}\right)^2}} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3 e^{2y} 

Умножим обе части на -x \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{z + 3}{x}\right)^2}:

 \frac{\partial z}{\partial y} = -2x^4 e^{2y} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{z + 3}{x} \right)^2} 

Ответ:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(z + 3) - 3x^4 e^{2y} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{z + 3}{x} \right)^2}}{x} 

 \frac{\partial z}{\partial y} = -2x^4 e^{2y} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{z + 3}{x} \right)^2}