Найдите частные производные первого порядка

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные

Задание:
Найти частные производные первого порядка функции
z = \sqrt{ \dfrac{1 + xy}{2 - xy} }

Решение:

Обозначим функцию: z(x, y) = \sqrt{ \dfrac{1 + xy}{2 - xy} }

Это сложная функция, поэтому при дифференцировании будем использовать:

• правило дифференцирования дроби,
• правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

1. Частная производная по x: \frac{\partial z}{\partial x}

Пусть: u(x, y) = \dfrac{1 + xy}{2 - xy},
тогда
z = \sqrt{u} = u^{1/2}

Применим цепное правило:  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} 

Найдём \frac{\partial u}{\partial x} по правилу дифференцирования дроби:  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(2 - xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(1 + xy) - (1 + xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(2 - xy)}{(2 - xy)^2} 

Вычислим производные:

• \frac{\partial}{\partial x}(1 + xy) = y
• \frac{\partial}{\partial x}(2 - xy) = -y

Подставим:  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(2 - xy)y - (1 + xy)(-y)}{(2 - xy)^2} = \frac{y(2 - xy) + y(1 + xy)}{(2 - xy)^2} 

Упростим числитель:  y(2 - xy + 1 + xy) = y(3) 

Итак:  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3y}{(2 - xy)^2} 

Теперь подставим в формулу для \frac{\partial z}{\partial x}:  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1 + xy}{2 - xy} \right)^{-1/2} \cdot \frac{3y}{(2 - xy)^2} 

2. Частная производная по y: \frac{\partial z}{\partial y}

Аналогично:  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} 

Найдём \frac{\partial u}{\partial y}:  \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{(2 - xy) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(1 + xy) - (1 + xy) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2 - xy)}{(2 - xy)^2} 

Вычислим производные:

• \frac{\partial}{\partial y}(1 + xy) = x
• \frac{\partial}{\partial y}(2 - xy) = -x

Подставим:  \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{(2 - xy)x - (1 + xy)(-x)}{(2 - xy)^2} = \frac{x(2 - xy) + x(1 + xy)}{(2 - xy)^2} 

Упростим числитель:  x(2 - xy + 1 + xy) = x(3) 

Итак:  \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3x}{(2 - xy)^2} 

Теперь подставим в формулу для \frac{\partial z}{\partial y}:  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1 + xy}{2 - xy} \right)^{-1/2} \cdot \frac{3x}{(2 - xy)^2} 

Ответ:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3y}{2(2 - xy)^2} \cdot \left( \dfrac{1 + xy}{2 - xy} \right)^{-1/2} 

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3x}{2(2 - xy)^2} \cdot \left( \dfrac{1 + xy}{2 - xy} \right)^{-1/2}