Найдите частные производные первого и второго порядка функции

Условие:

Найдите частные производные первого и второго порядка функции u = x⁴ + y⁴ - x³y³. Исследуйте на экстремум функцию: f(x, y) = x² + xy + y² -3x - 6y. Определите условный экстремум функции z = xy, если x² + y² = 2.

Решение:

Задание 1: Найти частные производные первого и второго порядка функции \( u = x^4 + y^4 - x^3y^3 \)

Частные производные первого порядка

Для функции \( u(x, y) \), частная производная по переменной \( x \) обозначается как \( \partial u / \partial x \) и по переменной \( y \) как \( \partial u / \partial y \).

  1. Частная производная по \( x \):

    \[ u = x^4 + y^4 - x^3y^3 \] \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^4) + \frac{\partial}{\partial x}(y^4) - \frac{\partial}{\partial x}(x^3y^3) \] Заметим, что \( y^4 \) не зависит от \( x \), поэтому её производная равна 0: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 4x^3 + 0 - \frac{\partial}{\partial x}(x^3 y^3) \] Для \( x^3y^3 \) используем правило произведения: \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^3 y^3) = 3x^2 y^3 \] Таким образом: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 4x^3 - 3x^2 y^3 \]

  2. Частная производная по \( y \):

    \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^4) + \frac{\partial}{\partial y}(y^4) - \frac{\partial}{\partial y}(x^3 y^3) \] Как и в предыдущем случае \( x^4 \) не зависит от \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 0 + 4y^3 - \frac{\partial}{\partial y}(x^3 y^3) \] Для \( x^3y^3 \) используем правило произведения: \[ \frac{\partial}{\partial y}(x^3 y^3) = 3x^3 y^2 \] Таким образом: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 4y^3 - 3x^3 y^2 \]

Частные производные второго порядка

Теперь найдём частные производные второго порядка: \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \), \( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \), \( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \), \( \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \).

  1. Вторая частная производная по \( x \):

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 4x^3 - 3x^2 y^3 \right) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 12x^2 - 6x y^3 \]

  2. Вторая частная производная по \( y \):

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 4y^3 - 3x^3 y^2 \right) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 12y^2 - 6x^3 y \]

  3. Смешанная частная производная \( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \):

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 4x^3 - 3x^2 y^3 \right) \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = -9x^2 y^2 \]

  4. Смешанная частная производная \( \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \) (аналогично \( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \)):

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = -9x^2 y^2 \]

Задание 2: Исследуйте на экстремум функцию \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 -3x - 6y \)

Для поиска экстремума функции двух переменных \( f(x, y) \) сначала найдем её частные производные первого порядка и приравняем их к нулю для нахождения стационарных точек.

  1. Частные производные первого порядка:

    \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y - 6 \]

  2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю:

    \[ 2x + y - 3 = 0 \quad \text{(1)} \] \[ x + 2y - 6 = 0 \quad \text{(2)} \] Решаем систему уравнений (1) и (2): Умножим уравнение (2) на 2: \[ 2x + y - 3 = 0 \] \[ 2x + 4y - 12 = 0 \] Вычтем первое уравнение из второго: \[ (2x + 4y - 12) - (2x + y - 3) = 0 \] \[ 3y - 9 = 0 \] \[ y = 3 \] Подставим значение \( y \) в уравнение (1): \[ 2x + 3 - 3 = 0 \] \[ 2x = 0 \] \[ x = 0 \] Стационарная точка: \( (0, 3) \).

  3. Проверим наличие экстремума с помощью второго порядка производных:

    Вычислим вторые частные производные: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1 \] Используем определитель Гёссе для проверки типа экстремума: \[ H = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3 \] Так как \( H > 0 \) и \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0 \), функция имеет минимум в точке \( (0, 3) \).

Задание 3: Определите условный экстремум функции \( z = xy \), если \( x^2 + y^2 = 2 \)

Для нахождения условного экстремума используем метод множителей Лагранжа.

  1. Определим функцию Лагранжа:

    \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = xy + \lambda (x^2 + y^2 - 2) \]

  2. Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю:

    \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y + \lambda \cdot 2x = 0 \]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн