Найдите частную производную первого порядка функции z=(x^3)siny+cosx +xy^2+3

Конечно, давайте разберем это задание. Определим предмет и раздел предмета:

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (чаще всего сюда включают производные и частные производные функций нескольких переменных).

Теперь решим задание по шагам.

Задание: Найти частную производную первого порядка функции \( z = x^3 \sin y + \cos x + xy^2 + 3 \).

Напомним, что частная производная функции по переменной \( x \) (обозначается как \( \frac{\partial z}{\partial x} \)) — это производная функции по переменной \( x \), когда все другие переменные (в данном случае \( y \)) считаются постоянными. Аналогично, частная производная функции по переменной \( y \) (обозначается как \( \frac{\partial z}{\partial y} \)).

Рассчитаем частную производную \(\frac{\partial z}{\partial x}\):

Функция \( z = x^3 \sin y + \cos x + xy^2 + 3 \).

1. Частная производная \( x^3 \sin y \) по \( x \): \[ \frac{\partial}{\partial x} (x^3 \sin y) = 3x^2 \sin y \] Здесь \(\sin y\) рассматривается как константа, поскольку мы дифференцируем по \( x \).
2. Частная производная \(\cos x\) по \( x \): \[ \frac{\partial}{\partial x} (\cos x) = -\sin x \]
3. Частная производная \(xy^2\) по \( x \): \[ \frac{\partial}{\partial x} (xy^2) = y^2 \] Здесь \( y^2 \) как константа умножается на производную от \( x \), которая равна 1.
4. Частная производная константы 3 по \( x \): \[ \frac{\partial}{\partial x} (3) = 0 \]

Теперь суммируем все частные производные: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 \sin y - \sin x + y^2 \]

Рассчитаем частную производную \(\frac{\partial z}{\partial y}\):

1. Частная производная \( x^3 \sin y \) по \( y \): \[ \frac{\partial}{\partial y} (x^3 \sin y) = x^3 \cos y \] Здесь \( x^3 \) является константой.
2. Частная производная \(\cos x\) по \( y \): \[ \frac{\partial}{\partial y} (\cos x) = 0 \] Поскольку \( \cos x \) не зависит от \( y \).
3. Частная производная \(xy^2\) по \( y \): \[ \frac{\partial}{\partial y} (xy^2) = 2xy \] Здесь применяется правило произведения и производная от \( y^2 \), которая равна \( 2y \).
4. Частная производная константы 3 по \( y \): \[ \frac{\partial}{\partial y} (3) = 0 \]

Теперь суммируем все частные производные: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^3 \cos y + 2xy \]

Ответы:

1. Частная производная функции \( z \) по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 \sin y - \sin x + y^2 \]
2. Частная производная функции \( z \) по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^3 cos y + 2xy \]

Надеюсь, это детальное объяснение и пошаговое решение задания было полезным! Если у вас будут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другим заданием, пожалуйста, дайте знать.