Найди производную

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (производные)

Найдем производную функции \( y = \left( 3x^2 - 1 \right)^{\ln (\sin x)} \).

Шаги решения:

1. Применяем свойства логарифмов и производной сложной функции.

   У нас основание степени \( 3x^2 - 1 \) и показатель степени \( \ln (\sin x) \). Используем логарифмирование и правило:

   \[ y = u^v \implies \ln y = v \ln u. \]

   Здесь:

   \[ u = 3x^2 - 1, \quad v = \ln (\sin x). \]

   Прологарифмируем:

   \[ \ln y = \ln (\sin x) \cdot \ln (3x^2 - 1). \]

   Теперь находим производную.

---

2. Находим производную \(\ln y\).

   По цепному правилу:

   \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \ln (\sin x) \cdot \ln (3x^2 - 1) \right]. \]

   Производная произведения:

   \[ \frac{d}{dx} \left[ \ln (\sin x) \cdot \ln (3x^2 - 1) \right] = \ln (3x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx} \ln (\sin x) + \ln (\sin x) \cdot \frac{d}{dx} \ln (3x^2 - 1). \]

---

3. Находим каждую производную по отдельности.
   • Производная \(\ln (\sin x)\):

     \[ \frac{d}{dx} \ln (\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x. \]

   • Производная \(\ln (3x^2 - 1)\):

     \[ \frac{d}{dx} \ln (3x^2 - 1) = \frac{1}{3x^2 - 1} \cdot \frac{d}{dx} (3x^2 - 1) = \frac{1}{3x^2 - 1} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 - 1}. \]

---

4. Подставляем обратно.

   \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (3x^2 - 1) \cdot \cot x + \ln (\sin x) \cdot \frac{6x}{3x^2 - 1}. \]

   Умножаем обе части на \(y = \left( 3x^2 - 1 \right)^{\ln (\sin x)}\):

Итоговый ответ: