Нахождение производной сложной функции

Это задание из раздела математики, а именно — из темы дифференцирования функций. На изображении написана функция: \[ y = (\sin x)^{5x}. \]

Для нахождения производной этой сложной функции используем метод логарифмирования. Это удобный способ для дифференцирования выражений, где переменная находится как в основании, так и в степени.

Этапы решения:

1. Преобразуем функцию, применяя логарифмирование:

   \[ \ln y = \ln \left( (\sin x)^{5x} \right). \]

   По свойству логарифмов:

   \[ \ln y = 5x \cdot \ln (\sin x). \]

2. Найдем производную обеих сторон уравнения, помня, что \(y\) зависит от \(x\):

   \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( 5x \cdot \ln (\sin x) \right). \]

3. Применим правило произведения к правой части:

   \[ \frac{dy}{dx} = y \cdot \left( \frac{d}{dx}(5x) \cdot \ln (\sin x) + 5x \cdot \frac{d}{dx}\ln (\sin x) \right). \]

   Здесь:

   \[ \frac{d}{dx}(5x) = 5, \quad \frac{d}{dx}\ln (\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x. \]

4. Подставим производные:

   \[ \frac{dy}{dx} = y \cdot \left( 5 \cdot \ln (\sin x) + 5x \cdot \cot x \right). \]

5. Вернем \(y = (\sin x)^{5x}\) вместо \(y\):

   \[ \frac{dy}{dx} = (\sin x)^{5x} \cdot \left( 5 \cdot \ln (\sin x) + 5x \cdot \cot x \right). \]

Окончательный ответ:

\[ \frac{dy}{dx} = (\sin x)^{5x} \cdot \left( 5 \ln (\sin x) + 5x \cot x \right). \]