Исследование функций, их производных, а также преобразование выражений

Эти задания относятся к математике, к разделу математического анализа (исследование функций, их производных, а также преобразование выражений). Давайте разберем каждое задание подробно.

1) $\text{[}y=\frac{e^2-4^x}{\sqrt{x^2+3}}\text{]}$

Нужно упростить выражение или исследовать его. Выполним упрощение возможных частей.

1. Числитель: $\text{(}{e}^2-4^x\text{)}$. Здесь $\text{(}{e}^2\text{)}$ — число, постоянная величина. А $\text{(}{4}^x\text{)}$ — экспоненциальная функция. Примерный вид выражения в числителе — разность постоянной и выражения, зависящего от $\text{(}x\text{)}$.
2. Знаменатель: $\text{(}\sqrt{x^2+3}\text{)}$. Корень из суммы квадрата $\text{(}x\text{)}$ и числа 3.

2) $\text{[}y=(1-x^2)\cdot {\mathrm{ctg}}^{2}x-\ln 8\text{]}$

1. Функция $\text{(}y\text{)}$: зависит от трех частей:
   • $\text{(}1-x^2\text{)}$ — квадратичная зависимость.
   • $\text{(}{\mathrm{ctg}}^{2}x\text{)}$ — квадрат котангенса.
   • $\text{(}-\ln 8\text{)}$ — константа.
2. Можно исследовать производные, поведение на промежутках, область определения:
   • Для $\text{(}1-x^2\text{)}$: область определения $\text{(}x\in [-1,1]\text{)}$, иначе результат уходит в мнимую область.
   • Для $\text{(}{\mathrm{ctg}}^{2}x\text{)}$: $\text{(}x\ne n\pi ,n\in \mathbb{Z}\text{)}$, так как котангенс не определен в этих точках.

3) $\text{[}y=4\cdot \arccos \frac{1}{x}+\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+5x}}\text{]}$

Анализ:

1. Первая часть: $\text{(}4\cdot \arccos \frac{1}{x}\text{)}$. Это арккосинус, аргумент $\text{(}\frac{1}{x}\text{)}$ накладывает ограничения: $\text{[}-1\le \frac{1}{x}\le 1⟹x\in (-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty }).\text{]}$
2. Вторая часть: $\text{(}\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+5x}}\text{)}$.
   • $\text{(}\sqrt{1+5x}\text{)}$ требует, чтобы $\text{(}1+5x\ge 0⟹x\ge -\frac{1}{5}\text{)}$.
   • Область пересечения: $\text{(}x\ge 1\text{)}$ (с учетом ограничений арккосинуса).

4) $\text{[}y=(\lg 3x{)}^{\frac{1}{\ln x}}\text{]}$

Анализ:

1. Форма: $\text{(}(\lg 3x)\text{)}$ в степени, зависящей от $\text{(}\ln x\text{)}$.
   • $\text{(}\lg 3x=\lg 3+\lg x\text{)}$, чтобы была смысловая область определения: $\text{(}x>0\text{)}$.
   • $\text{(}\ln x>0⟹x>1\text{)}$ (логарифм в основании e).
2. Итоговая область определения (ОДЗ): $\text{[}x>1\text{]}$

Резюме:

1. Уравнения можно исследовать по производным или ОДЗ.
2. Задания предполагают упрощение/анализ функций. Если нужна помощь с производными или подстановками, уточните!

Ответ: Задание требует подстановки или дальнейшего анализа функции. Форма для работы с производной остается такой же.