Исследование функций, их производных, а также преобразование выражений

Эти задания относятся к математике, к разделу математического анализа (исследование функций, их производных, а также преобразование выражений). Давайте разберем каждое задание подробно.

1) \[ y = \frac{e^2 - 4^x}{\sqrt{x^2 + 3}} \]

Нужно упростить выражение или исследовать его. Выполним упрощение возможных частей.

1. Числитель: \(e^2 - 4^x\). Здесь \(e^2\) — число, постоянная величина. А \(4^x\) — экспоненциальная функция. Примерный вид выражения в числителе — разность постоянной и выражения, зависящего от \(x\).
2. Знаменатель: \(\sqrt{x^2 + 3}\). Корень из суммы квадрата \(x\) и числа 3.

2) \[ y = (1 - x^2) \cdot \operatorname{ctg}^2{x} - \ln 8 \]

1. Функция \(y\): зависит от трех частей:
   • \(1 - x^2\) — квадратичная зависимость.
   • \(\operatorname{ctg}^2{x}\) — квадрат котангенса.
   • \( - \ln 8\) — константа.
2. Можно исследовать производные, поведение на промежутках, область определения:
   • Для \(1 - x^2\): область определения \(x \in [-1, 1]\), иначе результат уходит в мнимую область.
   • Для \(\operatorname{ctg}^2{x}\): \(x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}\), так как котангенс не определен в этих точках.

3) \[ y = 4 \cdot \operatorname{arccos} \frac{1}{x} + \frac{\sin 2x}{\sqrt{1 + 5x}} \]

Анализ:

1. Первая часть: \(4 \cdot \operatorname{arccos} \frac{1}{x}\). Это арккосинус, аргумент \(\frac{1}{x}\) накладывает ограничения: \[ -1 \leq \frac{1}{x} \leq 1 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty). \]
2. Вторая часть: \(\frac{\sin 2x}{\sqrt{1 + 5x}}\).
   • \(\sqrt{1 + 5x}\) требует, чтобы \(1 + 5x \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{5}\).
   • Область пересечения: \(x \geq 1\) (с учетом ограничений арккосинуса).

4) \[ y = (\lg 3x)^{\frac{1}{\ln x}} \]

Анализ:

1. Форма: \((\lg 3x)\) в степени, зависящей от \(\ln x\).
   • \(\lg 3x = \lg 3 + \lg x\), чтобы была смысловая область определения: \(x > 0\).
   • \(\ln x > 0 \implies x > 1\) (логарифм в основании e).
2. Итоговая область определения (ОДЗ): \[ x > 1 \]

Резюме:

1. Уравнения можно исследовать по производным или ОДЗ.
2. Задания предполагают упрощение/анализ функций. Если нужна помощь с производными или подстановками, уточните!

Ответ: Задание требует подстановки или дальнейшего анализа функции. Форма для работы с производной остается такой же.