Доказать, что смешанные производные по x и y равны, а потом вычислить их

Определим предмет и раздел

Задание относится к математике, более конкретно к области алгебры и разделу, связанному с производными и симметрическими выражениями. Теперь разберём само уравнение:

Дано уравнение \( z_{xy} = z_{yx} \) и выражение для \( z \):

\[ z = x^2y^2 + 7y + 2xy^3 - 5 \]

Задание

Доказать, что смешанные производные по \(x\) и \(y\) равны, а потом вычислить их.

Поэтапное решение

1. Найдём смешанную производную \( z_{xy} \).

Пусть сначала мы возьмём производную \(z\) по переменной \(x\), а затем по \(y\).

Выражение для \(z\):

\[ z = x^2y^2 + 7y + 2xy^3 - 5 \]

Сначала частная производная по \(x\):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y^2 + 7y + 2xy^3 - 5) \]

• Производная \(x^2y^2\) по \(x\): \(\frac{\partial}{\partial x}(x^2y^2) = 2xy^2\).
• Производная \(7y\) по \(x\): \( \frac{\partial}{\partial x}(7y) = 0 \), так как нет зависимости от \(x\).
• Производная \(2xy^3\) по \(x\): \( \frac{\partial}{\partial x}(2xy^3) = 2y^3 \).
• Производная \(-5\) по \(x\): \( \frac{\partial}{\partial x}(-5) = 0 \).

После дифференцирования по \(x\):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy^2 + 2y^3 \]

Теперь дифференцируем это по \(y\):

\[ \frac{\partial}{\partial y}(2xy^2 + 2y^3) \]

• Производная \(2xy^2\) по \(y\): \(\frac{\partial}{\partial y}(2xy^2) = 4xy\).
• Производная \(2y^3\) по \(y\): \(\frac{\partial}{\partial y}(2y^3) = 6y^2\).

Итак:

\[ z_{xy} = 4xy + 6y^2 \]

2. Найдём смешанную производную \(z_{yx}\).

Теперь возьмём производную сначала по \(y\), а затем по \(x\).

Частная производная по \(y\):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y^2 + 7y + 2xy^3 - 5) \]

• Производная \(x^2y^2\) по \(y\): \(\frac{\partial}{\partial y}(x^2y^2) = 2x^2y\).
• Производная \(7y\) по \(y\): \( \frac{\partial}{\partial y}(7y) = 7 \).
• Производная \(2xy^3\) по \(y\): \( \frac{\partial}{\partial y}(2xy^3) = 6xy^2 \).
• Производная \(-5\) по \(y\): \( \frac{\partial}{\partial y}(-5) = 0 \).

Таким образом:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2y + 7 + 6xy^2 \]

Теперь дифференцируем это выражение по \(x\):

\[ \frac{\partial}{\partial x}(2x^2y + 7 + 6xy^2) \]

• Производная \(2x^2y\) по \(x\): \(\frac{\partial}{\partial x}(2x^2y) = 4xy\).
• Производная \(7\) по \(x\): \( \frac{\partial}{\partial x}(7) = 0 \).
• Производная \(6xy^2\) по \(x\): \(\frac{\partial}{\partial x}(6xy^2) = 6y^2\).

Итак:

\[ z_{yx} = 4xy + 6y^2 \]

3. Сравним смешанные производные

Мы получили, что:

\[ z_{xy} = 4xy + 6y^2 \]

и

\[ z_{yx} = 4xy + 6y^2 \]

Таким образом:

\[ z_{xy} = z_{yx} \]

И это доказывает, что смешанные производные равны.

Ответ:

Да, \( z_{xy} = z_{yx} \) для данной функции \(z = x^2y^2 + 7y + 2xy^3 - 5\).