Чему равна частная производная первого порядка по x функции двух переменных

Это задание относится к предмету математический анализ, в частности, к разделу частные производные. Нам нужно найти частную производную функции двух переменных \( z \) по переменной \( x \). Функция дана как: \[ z = \ln(xy) \]

Шаг 1. Используем свойства логарифмов:

Прежде чем брать производную, упростим выражение, используя одно из свойств логарифма: \[ \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \] Таким образом: \[ z = \ln(x) + \ln(y) \]

Шаг 2. Берём частную производную функции \( z \) по переменной \( x \):

Для нахождения частной производной, все переменные, кроме \( x \), считаются постоянными. В данном случае считаем \( y \) постоянным. Производная \( \ln(x) \) по \( x \) равна \( \frac{1}{x} \). \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{dx} (\ln(x)) + \frac{d}{dx} (\ln(y)) \] Так как \( y \) — это константа относительно \( x \), частная производная \( \ln(y) \) по \( x \) равна нулю: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x} \]

Ответ:

Частная производная первого порядка функции \( z = \ln(xy) \) по \( x \) равна: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x} \]