Выполнить рационализацию знаменателя для всех дробей

Предмет: Математика

Раздел: Арифметика, рационализация знаменателя

Необходимо выполнить рационализацию знаменателя для всех дробей, представленных на скриншоте. Это означает, что нужно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение или на корень из знаменателя.

Пример 10

\frac{11}{5 + \sqrt{2}}

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение 5 - \sqrt{2}:

 \frac{11}{5 + \sqrt{2}} \cdot \frac{5 - \sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}} = \frac{11(5 - \sqrt{2})}{(5 + \sqrt{2})(5 - \sqrt{2})} 

В знаменателе используем формулу разности квадратов:
(5 + \sqrt{2})(5 - \sqrt{2}) = 5^2 - (\sqrt{2})^2 = 25 - 2 = 23.

Таким образом:
\frac{11(5 - \sqrt{2})}{23} = \frac{55 - 11\sqrt{2}}{23}.

Пример 11

\frac{15}{3 - \sqrt{10}}

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение 3 + \sqrt{10}:

 \frac{15}{3 - \sqrt{10}} \cdot \frac{3 + \sqrt{10}}{3 + \sqrt{10}} = \frac{15(3 + \sqrt{10})}{(3 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10})} 

В знаменателе используем формулу разности квадратов:
(3 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10}) = 3^2 - (\sqrt{10})^2 = 9 - 10 = -1.

Таким образом:
\frac{15(3 + \sqrt{10})}{-1} = -15(3 + \sqrt{10}) = -45 - 15\sqrt{10}.

Пример 12

\frac{2}{\sqrt{8}}

Упростим знаменатель. Корень из 8 можно разложить как \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}. Тогда:
\frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Рационализируем:
\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Пример 13

\frac{5}{\sqrt{12}}

Упростим знаменатель. Корень из 12 можно разложить как \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}. Тогда:
\frac{5}{\sqrt{12}} = \frac{5}{2\sqrt{3}}.

Рационализируем:
\frac{5}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}.

Пример 14

\frac{9}{7 - \sqrt{3}}

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение 7 + \sqrt{3}:

 \frac{9}{7 - \sqrt{3}} \cdot \frac{7 + \sqrt{3}}{7 + \sqrt{3}} = \frac{9(7 + \sqrt{3})}{(7 - \sqrt{3})(7 + \sqrt{3})} 

В знаменателе используем формулу разности квадратов:
(7 - \sqrt{3})(7 + \sqrt{3}) = 7^2 - (\sqrt{3})^2 = 49 - 3 = 46.

Таким образом:
\frac{9(7 + \sqrt{3})}{46} = \frac{63 + 9\sqrt{3}}{46}.

Пример 15

\frac{14}{2 + \sqrt{6}}

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение 2 - \sqrt{6}:

 \frac{14}{2 + \sqrt{6}} \cdot \frac{2 - \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} = \frac{14(2 - \sqrt{6})}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} 

В знаменателе используем формулу разности квадратов:
(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6}) = 2^2 - (\sqrt{6})^2 = 4 - 6 = -2.

Таким образом:
\frac{14(2 - \sqrt{6})}{-2} = -7(2 - \sqrt{6}) = -14 + 7\sqrt{6}.

Ответы:

10. \frac{55 - 11\sqrt{2}}{23}
11. -45 - 15\sqrt{10}
12. \frac{\sqrt{2}}{2}
13. \frac{5\sqrt{3}}{6}
14. \frac{63 + 9\sqrt{3}}{46}
15. -14 + 7\sqrt{6}