Выделение полного квадрата в выражениях с двумя переменными

Определение предмета:

Задание относится к алгебре, а конкретно к теме выделение полного квадрата в выражениях с двумя переменными.

Решение:

У нас есть выражение: \[ y_1^2 - 3y_1y_3 \]

Задача состоит в том, чтобы выделить полный квадрат.

1. Рассмотрим первое слагаемое \( y_1^2 \). Это уже квадрат первого выражения \( y_1 \).
2. Рассмотрим второе слагаемое \( -3y_1 y_3 \). Чтобы этот член оказался частью полного квадрата, нам необходимо преобразовать его в выражение вида \( 2ab \), где \( a \) и \( b \) — это элементы, которые входят в квадрат. Для этого:

   Мы видим, что \( -3y_1y_3 \) неравно удвоенному произведению двух величин (как в формуле \( 2ab \)) напрямую. Однако попробуем сделать следующее предположение:

   \( -3y_1y_3 \rightarrow -2 \cdot \left( \frac{3}{2}\right)y_1 y_3 \)

   Это позволяет нам применить формулу разложения полного квадрата.

3. Теперь используем формулу полного квадрата: \[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]

Для нашего выражения \( a = y_1 \) и \( b = \frac{3}{2}y_3 \). Следовательно, \( y_1^2 - 3y_1y_3 \) можно преобразовать в:

\[ y_1^2 - 2 \cdot y_1 \cdot \frac{3}{2}y_3 = \left( y_1 - \frac{3}{2}y_3 \right)^2 - \left( \frac{3}{2}y_3 \right)^2 \]

4. Окончательно, перепишем результат:

\[ y_1^2 - 3y_1y_3 = \left( y_1 - \frac{3}{2}y_3 \right)^2 - \frac{9}{4}y_3^2 \]

Ответ:

\[ y_1^2 - 3y_1 y_3 = \left( y_1 - \frac{3}{2} y_3 \right)^2 - \frac{9}{4} y_3^2 \]