Разложить многочлен

Предмет: Алгебра
Раздел: Арифметика и алгебра над конечными полями (в частности, разложение многочленов в поле вычетов [Z_5])

Задание:
Разложить многочлен
x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 2
в поле [Z_5] и найти один из его неприводимых множителей. Даны 4 варианта ответа, и нужно определить, какой из них является одним из множителей.

Решение:

Работаем в поле [Z_5], то есть все коэффициенты считаются по модулю 5.

Дан многочлен:
f(x) = x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 0x + 2

Попробуем разложить его на произведение двух квадратных многочленов: f(x) = (x^2 + a_1x + b_1)(x^2 + a_2x + b_2)

Раскроем скобки:

 (x^2 + a_1x + b_1)(x^2 + a_2x + b_2) = x^4 + (a_1 + a_2)x^3 + (a_1a_2 + b_1 + b_2)x^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)x + b_1b_2 

Сравним коэффициенты с данным многочленом:

• [x^4]: коэффициент 1
• [x^3]: [a_1 + a_2 = 3]
• [x^2]: [a_1a_2 + b_1 + b_2 = 4]
• [x^1]: [a_1b_2 + a_2b_1 = 0]
• [x^0]: [b_1b_2 = 2]

Найдем такие [a_1], [a_2], [b_1], [b_2] в [Z_5], чтобы выполнялись все условия.

Перебор возможных пар [b_1], [b_2], таких что [b_1b_2 = 2] в [Z_5]:

В [Z_5] (то есть по модулю 5), элементы: 0, 1, 2, 3, 4.
Рассмотрим все пары, произведение которых равно 2:

• [1 * 2 = 2]
• [2 * 1 = 2]
• [3 * 4 = 12 ≡ 2 (mod 5)]
• [4 * 3 = 12 ≡ 2 (mod 5)]

Значит возможны пары:

• ([b_1], [b_2]) = (1,2), (2,1), (3,4), (4,3)

Попробуем, например, ([b_1], [b_2]) = (1,2)

Теперь найдем такие [a_1], [a_2], чтобы:

1. [a_1 + a_2 = 3]
2. [a_1a_2 + b_1 + b_2 = 4] → [a_1a_2 + 3 = 4] → [a_1a_2 = 1]
3. [a_1b_2 + a_2b_1 = 0] → [2a_1 + a_2 = 0]

Из 1: [a_2 = 3 - a_1]
Подставим в 3: [2a_1 + (3 - a_1) = 0] → [a_1 + 3 = 0] → [a_1 = 2]
Тогда [a_2 = 1]

Проверим условие 2:
[a_1a_2 = 2 * 1 = 2], [b_1 + b_2 = 3], [2 + 3 = 5 ≡ 0 (mod 5)] — не подходит.

Попробуем ([b_1], [b_2]) = (3,4)

Пусть [a_1 + a_2 = 3]
[a_1a_2 + 3 + 4 = 4] → [a_1a_2 + 7 = 4] → [a_1a_2 = 2]
[a_14 + a_23 = 0] → [4a_1 + 3a_2 = 0]

Из [a_2 = 3 - a_1], подставим:
[4a_1 + 3(3 - a_1) = 0] → [4a_1 + 9 - 3a_1 = 0] → [a_1 + 9 = 0] → [a_1 = -9 ≡ 1 (mod 5)]
[a_2 = 3 - 1 = 2]

Проверим [a_1a_2 = 1 * 2 = 2] — подходит.

Теперь построим множители: (x^2 + a_1x + b_1) = (x^2 + x + 3)
(x^2 + a_2x + b_2) = (x^2 + 2x + 4)

Проверим, совпадает ли один из них с вариантами ответа:

• Вариант 1: x^2 + 3x + 3 — нет
• Вариант 2: x^2 + x + 3 — ДА
• Вариант 3: x^2 + 2x + 4 — тоже да, но это другой множитель
• Вариант 4: x^2 + 2x + 3 — нет

Ответ: \boxed{2} — один из неприводимых множителей имеет вид x^2 + x + 3.