Найти остаток числа x при делении на 15, зная, что остаток при делении на 3 равен 2. Остаток при делении на 5 равен 3

Предмет: Математика

Раздел: Теория чисел, функция остатков (модульная арифметика)

Для решения задачи нам нужно найти остаток числа \( x \) при делении на 15, зная, что:

• Остаток при делении на 3 равен 2.
• Остаток при делении на 5 равен 3.

Запишем это с использованием модульной арифметики:

\[ x \equiv 2 \pmod{3} \]

\[ x \equiv 3 \pmod{5} \]

Сначала переходим к общему виду этих сравнений. Это значит, что наше \( x \) выглядит так:

\[ x = 3k + 2 \] (для некоторого целого \( k \))

\[ x = 5m + 3 \] (для некоторого целого \( m \))

Теперь нужно найти \( x \), который удовлетворяет обоим этим уравнениям. Подставим первое уравнение во второе:

\[ 3k + 2 = 5m + 3 \]

Перепишем уравнение:

\[ 3k - 5m = 1 \]

Теперь найдем целые решения этого уравнения. Это диофантово уравнение, и его можно решить подбором:

Пробуем для разных значений \( k \):

Для \( k = 2 \):

\[ 3(2) - 5m = 1 \]

\[ 6 - 5m = 1 \]

\[ 5m = 5 \]

\[ m = 1 \]

Значит, для \( k = 2 \) и \( m = 1 \), мы получаем:

\[ x = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8 \]

Теперь проверим \( x = 8 \):

\[ 8 \div 3 = 2 \quad \text{остаток } 2 \] (верно)

\[ 8 \div 5 = 1 \quad \text{остаток } 3 \] (верно)

Теперь нужно найти остаток при делении числа на 15:

\[ 8 \div 15 = 0 \quad \text{остаток } 8 \]

Итак, остаток при делении этого числа на 15 равен 8.