Данный вопрос относится к математике, а конкретнее — к анализу функций, теме разрывов функции. Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{\sin(x-4)}{(x-4)(x+12)} + \frac{\ln(1+(x+19))}{|x+19|} \). Чтобы найти все точки разрыва функции \( f(x) \), нужно рассмотреть проблемные точки для каждого слагаемого.
1. Первый слагаемый:
\(\frac{\sin(x-4)}{(x-4)(x+12)}\)
-
\(x = 4\): Нумератор и знаменатель одновременно обращаются в ноль. Здесь может быть устранимый разрыв. Проверим предел:
\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sin(x-4)}{(x-4)(x+12)} = \lim_{x \to 4} \frac{\cos(x-4)}{x+12} = \frac{\cos(0)}{16} = \frac{1}{16} \]
Таким образом, это разрыв устранимый.
-
\(x = -12\): Знаменатель обращается в ноль, но числитель нет.
\[ \lim_{x \to -12} \frac{\sin(x-4)}{(x-4)(x+12)} \]
Этот предел существует и равен 0 (такое значение знаменателя делает разрыв разрывом первого рода).
2. Второй слагаемый:
\(\frac{\ln(1+(x+19))}{|x+19|}\)
-
\(x = -19\): Внутри логарифма аргумент становится 0. Рассмотрим предел:
\[ \lim_{x \to -19^+} \frac{\ln(1+(x+19))}{x+19} = 1 \]
Предел слева не существует из-за отрицания под логарифмом. Таким образом, здесь разрыв второго рода.
Теперь соберем все наши наблюдения:
- x = -19: разрыв второго рода.
- x = -12: разрыв первого рода.
- x = 4: устранимый разрыв.