Построить график

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций и построение графиков

Нам дана функция:

y = \frac{3x^2 + 8}{1 - x}

1. Анализ функции

Перед построением графика проведем анализ:

Область определения

Функция определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль:

1 - x = 0 \Rightarrow x = 1

Следовательно, область определения:

x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)

Асимптоты

1. Вертикальная асимптота:

   • При x = 1 знаменатель обращается в ноль, а числитель не равен нулю, значит, прямая x = 1 является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная или наклонная асимптота:

   • Степень числителя (2) больше степени знаменателя (1), значит, горизонтальной асимптоты нет, но есть наклонная.

   • Разделим числитель на знаменатель столбиком:

     \frac{3x^2 + 8}{1 - x} = -3x - 3 + \frac{5}{1 - x}

     Главная часть -3x - 3 задает наклонную асимптоту:

     y = -3x - 3

Пересечения с осями

• Пересечение с осью OY:
  Подставим x = 0:
  y(0) = \frac{3(0)^2 + 8}{1 - 0} = \frac{8}{1} = 8
  Точка пересечения: (0, 8).

• Пересечение с осью OX:
  Решаем уравнение 3x^2 + 8 = 0:
  3x^2 = -8
  Корней нет (так как x^2 не может быть отрицательным).
  Значит, график не пересекает ось OX.

2. Построение графика

1. Построим асимптоты:
   • Вертикальная: x = 1
   • Наклонная: y = -3x - 3
2. Отметим точку пересечения с осью OY: (0, 8).
3. Подставим несколько значений x и найдем соответствующие y.
4. Учтем, что график разрывается в x = 1 и стремится к наклонной асимптоте на бесконечности.

График будет гиперболического типа с наклонной асимптотой.