Построить ее графики

Условие:

y = (3x² + 8) / (1 - x) построить ее графики

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций и построение графиков

Дана функция:

y = \frac{3x^2 + 8}{1 - x}

1. Область определения функции

Функция определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль:

1 - x = 0 \Rightarrow x = 1

Следовательно, область определения:

x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)

2. Асимптоты

  • Вертикальная асимптота:
    Знаменатель обращается в ноль при x = 1, но числитель в этой точке не равен нулю, значит, прямая x = 1 — вертикальная асимптота.

  • Горизонтальная или наклонная асимптота:
    Так как степень числителя (вторая степень) больше степени знаменателя (первая степень), горизонтальной асимптоты нет, но есть наклонная.
    Разделим числитель на знаменатель:

    Выполним деление 3x^2 + 8 на 1 - x:

    Разделим первый член 3x^2 на -x:

    \frac{3x^2}{-x} = -3x

    Умножим -3x на 1 - x:

    -3x(1 - x) = -3x + 3x^2

    Вычтем из числителя:

    (3x^2 + 8) - (3x^2 - 3x) = 3x + 8

    Разделим 3x на -x:

    \frac{3x}{-x} = -3

    Умножим -3 на 1 - x:

    -3(1 - x) = -3 + 3x

    Вычтем:

    (3x + 8) - (3x - 3) = 11

    Таким образом, частное от деления:

    -3x - 3 + \frac{11}{1 - x}

    При x \to \pm\infty дробь \frac{11}{1 - x} стремится к нулю, значит, наклонная асимптота:

    y = -3x - 3

3. Производная и критические точки

Находим производную функции:

y = \frac{3x^2 + 8}{1 - x}

Используем правило производной дроби:

y' = \frac{(6x)(1 - x) - (3x^2 + 8)(-1)}{(1 - x)^2}

Раскрываем скобки:

y' = \frac{6x - 6x^2 + 3x^2 + 8}{(1 - x)^2} = \frac{-3x^2 + 6x + 8}{(1 - x)^2}

Находим критические точки:

-3x^2 + 6x + 8 = 0

Решаем квадратное уравнение:

x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 96}}{-6} = \frac{-6 \pm \sqrt{132}}{-6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{33}}{-6} = \frac{3 \mp \sqrt{33}}{3}

Приблизительно:

x_1 \approx -1.42, \quad x_2 \approx 1.89

Но x = 1 не входит в область определения, поэтому рассматриваем только точки x_1 и x_2.

4. Построение графика

  1. Отмечаем асимптоты:

    • Вертикальная: x = 1
    • Наклонная: y = -3x - 3
  2. Находим несколько значений функции:

    x-2-1023
    y-2-58-10-5
  3. Строим график, учитывая асимптоты и поведение функции.

График будет гиперболического вида с разрывом в x = 1 и ветвями, приближающимися к наклонной асимптоте.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн