Построить ее графики

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций и построение графиков

Дана функция:

y = \frac{3x^2 + 8}{1 - x}

1. Область определения функции

Функция определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль:

1 - x = 0 \Rightarrow x = 1

Следовательно, область определения:

x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)

2. Асимптоты

• Вертикальная асимптота:
  Знаменатель обращается в ноль при x = 1, но числитель в этой точке не равен нулю, значит, прямая x = 1 — вертикальная асимптота.

• Горизонтальная или наклонная асимптота:
  Так как степень числителя (вторая степень) больше степени знаменателя (первая степень), горизонтальной асимптоты нет, но есть наклонная.
  Разделим числитель на знаменатель:

  Выполним деление 3x^2 + 8 на 1 - x:

  Разделим первый член 3x^2 на -x:

  \frac{3x^2}{-x} = -3x

  Умножим -3x на 1 - x:

  -3x(1 - x) = -3x + 3x^2

  Вычтем из числителя:

  (3x^2 + 8) - (3x^2 - 3x) = 3x + 8

  Разделим 3x на -x:

  \frac{3x}{-x} = -3

  Умножим -3 на 1 - x:

  -3(1 - x) = -3 + 3x

  Вычтем:

  (3x + 8) - (3x - 3) = 11

  Таким образом, частное от деления:

  -3x - 3 + \frac{11}{1 - x}

  При x \to \pm\infty дробь \frac{11}{1 - x} стремится к нулю, значит, наклонная асимптота:

  y = -3x - 3

3. Производная и критические точки

Находим производную функции:

y = \frac{3x^2 + 8}{1 - x}

Используем правило производной дроби:

y' = \frac{(6x)(1 - x) - (3x^2 + 8)(-1)}{(1 - x)^2}

Раскрываем скобки:

y' = \frac{6x - 6x^2 + 3x^2 + 8}{(1 - x)^2} = \frac{-3x^2 + 6x + 8}{(1 - x)^2}

Находим критические точки:

-3x^2 + 6x + 8 = 0

Решаем квадратное уравнение:

x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 96}}{-6} = \frac{-6 \pm \sqrt{132}}{-6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{33}}{-6} = \frac{3 \mp \sqrt{33}}{3}

Приблизительно:

x_1 \approx -1.42, \quad x_2 \approx 1.89

Но x = 1 не входит в область определения, поэтому рассматриваем только точки x_1 и x_2.

4. Построение графика

1. Отмечаем асимптоты:

   • Вертикальная: x = 1
   • Наклонная: y = -3x - 3

2. Находим несколько значений функции:

   x	-2	-1	0	2	3
   y	-2	-5	8	-10	-5

3. Строим график, учитывая асимптоты и поведение функции.

График будет гиперболического вида с разрывом в x = 1 и ветвями, приближающимися к наклонной асимптоте.