Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
y = (3x² + 8) / (1 - x) построить ее графики
Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций и построение графиков
Дана функция:
y = \frac{3x^2 + 8}{1 - x}
Функция определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль:
1 - x = 0 \Rightarrow x = 1
Следовательно, область определения:
x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)
Вертикальная асимптота:
Знаменатель обращается в ноль при x = 1, но числитель в этой точке не равен нулю, значит, прямая x = 1 — вертикальная асимптота.
Горизонтальная или наклонная асимптота:
Так как степень числителя (вторая степень) больше степени знаменателя (первая степень), горизонтальной асимптоты нет, но есть наклонная.
Разделим числитель на знаменатель:
Выполним деление 3x^2 + 8 на 1 - x:
Разделим первый член 3x^2 на -x:
\frac{3x^2}{-x} = -3x
Умножим -3x на 1 - x:
-3x(1 - x) = -3x + 3x^2
Вычтем из числителя:
(3x^2 + 8) - (3x^2 - 3x) = 3x + 8
Разделим 3x на -x:
\frac{3x}{-x} = -3
Умножим -3 на 1 - x:
-3(1 - x) = -3 + 3x
Вычтем:
(3x + 8) - (3x - 3) = 11
Таким образом, частное от деления:
-3x - 3 + \frac{11}{1 - x}
При x \to \pm\infty дробь \frac{11}{1 - x} стремится к нулю, значит, наклонная асимптота:
y = -3x - 3
Находим производную функции:
y = \frac{3x^2 + 8}{1 - x}
Используем правило производной дроби:
y' = \frac{(6x)(1 - x) - (3x^2 + 8)(-1)}{(1 - x)^2}
Раскрываем скобки:
y' = \frac{6x - 6x^2 + 3x^2 + 8}{(1 - x)^2} = \frac{-3x^2 + 6x + 8}{(1 - x)^2}
Находим критические точки:
-3x^2 + 6x + 8 = 0
Решаем квадратное уравнение:
x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 96}}{-6} = \frac{-6 \pm \sqrt{132}}{-6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{33}}{-6} = \frac{3 \mp \sqrt{33}}{3}
Приблизительно:
x_1 \approx -1.42, \quad x_2 \approx 1.89
Но x = 1 не входит в область определения, поэтому рассматриваем только точки x_1 и x_2.
Отмечаем асимптоты:
Находим несколько значений функции:
x | -2 | -1 | 0 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|
y | -2 | -5 | 8 | -10 | -5 |
Строим график, учитывая асимптоты и поведение функции.
График будет гиперболического вида с разрывом в x = 1 и ветвями, приближающимися к наклонной асимптоте.