Построить ее графики

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций и построение графиков

Дана функция:

$y=\frac{3x^2+8}{1-x}$

1. Область определения функции

Функция определена при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль:

$1-x=0\Rightarrow x=1$

Следовательно, область определения:

$x\in (-\mathrm{\infty },1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

2. Асимптоты

• Вертикальная асимптота:
  Знаменатель обращается в ноль при $x=1$, но числитель в этой точке не равен нулю, значит, прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.

• Горизонтальная или наклонная асимптота:
  Так как степень числителя (вторая степень) больше степени знаменателя (первая степень), горизонтальной асимптоты нет, но есть наклонная.
  Разделим числитель на знаменатель:

  Выполним деление $3x^2+8$ на $1-x$:

  Разделим первый член $3x^2$ на $-x$:

  $\frac{3x^2}{-x}=-3x$

  Умножим $-3x$ на $1-x$:

  $-3x(1-x)=-3x+3x^2$

  Вычтем из числителя:

  $(3x^2+8)-(3x^2-3x)=3x+8$

  Разделим $3x$ на $-x$:

  $\frac{3x}{-x}=-3$

  Умножим $-3$ на $1-x$:

  $-3(1-x)=-3+3x$

  Вычтем:

  $(3x+8)-(3x-3)=11$

  Таким образом, частное от деления:

  $-3x-3+\frac{11}{1-x}$

  При $x\to \pm \mathrm{\infty }$ дробь $\frac{11}{1-x}$ стремится к нулю, значит, наклонная асимптота:

  $y=-3x-3$

3. Производная и критические точки

Находим производную функции:

$y=\frac{3x^2+8}{1-x}$

Используем правило производной дроби:

$y^{\prime }=\frac{(6x)(1-x)-(3x^2+8)(-1)}{(1-x{)}^2}$

Раскрываем скобки:

$y^{\prime }=\frac{6x-6x^2+3x^2+8}{(1-x{)}^2}=\frac{-3x^2+6x+8}{(1-x{)}^2}$

Находим критические точки:

$-3x^2+6x+8=0$

Решаем квадратное уравнение:

$x=\frac{-6\pm \sqrt{36+96}}{-6}=\frac{-6\pm \sqrt{132}}{-6}=\frac{-6\pm 2\sqrt{33}}{-6}=\frac{3\mp \sqrt{33}}{3}$

Приблизительно:

$x_1\approx -1.42,x_2\approx 1.89$

Но $x=1$ не входит в область определения, поэтому рассматриваем только точки $x_1$ и $x_2$.

4. Построение графика

1. Отмечаем асимптоты:

   • Вертикальная: $x=1$
   • Наклонная: $y=-3x-3$

2. Находим несколько значений функции:

   x	-2	-1	0	2	3
   y	-2	-5	8	-10	-5

3. Строим график, учитывая асимптоты и поведение функции.

График будет гиперболического вида с разрывом в $x=1$ и ветвями, приближающимися к наклонной асимптоте.