Полное исследование функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций)

Нам нужно провести полное исследование функции f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}}. Это включает:

1. Нахождение области определения функции.
2. Исследование функции на четность/нечетность.
3. Нахождение производных и критических точек.
4. Исследование на монотонность и экстремумы.
5. Исследование на выпуклость и точки перегиба.
6. Определение асимптот и построение графика.

1. Область определения функции

Функция f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}} определена тогда, когда аргумент экспоненты \frac{2}{x} существует. Это возможно при x \neq 0, так как деление на ноль не определено.

ОДЗ функции: x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty).

2. Четность/Нечетность функции

Проверим четность функции. Для этого найдем f(-x) и сравним с f(x):

f(-x) = (-x) \cdot e^{\frac{2}{-x}} = -x \cdot e^{-\frac{2}{x}}.

Функция f(-x) не равна f(x) и не равна -f(x). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Нахождение производной функции

Для исследования функции найдем первую и вторую производные.

Первая производная:

f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}}. Это произведение двух функций, используем правило произведения:
\left(u \cdot v\right)' = u'v + uv', где u = x, v = e^{\frac{2}{x}}.

1. u' = 1.
2. v' = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right) (по правилу цепочки).

Тогда:
f'(x) = 1 \cdot e^{\frac{2}{x}} + x \cdot e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right).

Упростим:
f'(x) = e^{\frac{2}{x}} - \frac{2}{x} \cdot e^{\frac{2}{x}}.

Вынесем общий множитель:
f'(x) = e^{\frac{2}{x}} \left(1 - \frac{2}{x}\right).

4. Критические точки и монотонность

Критические точки находятся из условия f'(x) = 0:
e^{\frac{2}{x}} \left(1 - \frac{2}{x}\right) = 0.

Так как экспонента e^{\frac{2}{x}} \neq 0, то:
1 - \frac{2}{x} = 0.

Решим уравнение:
\frac{2}{x} = 1
x = 2.

Знаки производной:

Рассмотрим знак f'(x) = e^{\frac{2}{x}} \left(1 - \frac{2}{x}\right):

• При x \in (0, 2): 1 - \frac{2}{x} < 0, значит f'(x) < 0.
• При x \in (2, \infty): 1 - \frac{2}{x} > 0, значит f'(x) > 0.

Таким образом:

• На промежутке (0, 2) функция убывает.
• На промежутке (2, \infty) функция возрастает.

Точка x = 2 является точкой минимума.

5. Вторая производная и выпуклость

Найдем вторую производную f''(x). Для этого продифференцируем f'(x) = e^{\frac{2}{x}} \left(1 - \frac{2}{x}\right).

Используем правило произведения:
f''(x) = \left(e^{\frac{2}{x}}\right)' \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right) + e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right)'.

1. \left(e^{\frac{2}{x}}\right)' = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right).
2. \left(1 - \frac{2}{x}\right)' = \frac{2}{x^2}.

Подставляем:
f''(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right) \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right) + e^{\frac{2}{x}} \cdot \frac{2}{x^2}.

Упростим:
f''(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left[-\frac{2}{x^2} \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right) + \frac{2}{x^2}\right].

f''(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left[-\frac{2}{x^2} + \frac{4}{x^3} + \frac{2}{x^2}\right].

f''(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \frac{4}{x^3}.

Знаки второй производной:

• При x > 0, f''(x) > 0, значит функция выпукла вверх.

6. Асимптоты

Рассмотрим поведение функции при x \to 0^+ и x \to 0^−:

• При x \to 0^+, f(x) \to 0.
• При x \to 0^−, f(x) \to 0.

При x \to \infty, f(x) \to \infty.

Итог:

Функция имеет минимум в точке x = 2, возрастает при x > 2 и убывает при x \in (0, 2). Функция выпукла вверх на всей области определения.