Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
найти объем вращающегося тела по x y=64/(x^2+16), x^2=8y
Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление, геометрические приложения интегралов (объёмы тел вращения)
Найти объём тела, полученного вращением кривой вокруг оси Ox, заданной уравнением:
y = \dfrac{64}{x^2 + 16}
и
x^2 = 8y
Найдем точки пересечения графиков, чтобы определить границы интегрирования.
Подставим y = \dfrac{64}{x^2 + 16} во второе уравнение:
x^2 = 8y = 8 \cdot \dfrac{64}{x^2 + 16}
Умножим обе части на x^2 + 16:
x^2(x^2 + 16) = 512
Раскроем скобки:
x^4 + 16x^2 = 512
Переносим всё в одну сторону:
x^4 + 16x^2 - 512 = 0
Введем замену: u = x^2, тогда:
u^2 + 16u - 512 = 0
Решим квадратное уравнение:
u = \dfrac{-16 \pm \sqrt{16^2 + 4 \cdot 512}}{2} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{256 + 2048}}{2} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{2304}}{2}
\sqrt{2304} = 48 \Rightarrow u = \dfrac{-16 \pm 48}{2}
Получаем:
Значит, x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4
Таким образом, границы интегрирования: x \in [-4, 4]
Так как тело вращается вокруг оси Ox, используем формулу объема тела вращения:
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx
Где f(x) = \dfrac{64}{x^2 + 16}, а a = -4, b = 4
Так как функция чётная (симметрична относительно оси Oy), можно упростить:
V = 2\pi \int_{0}^{4} \left( \dfrac{64}{x^2 + 16} \right)^2 dx
Рассмотрим:
\int_{0}^{4} \left( \dfrac{64}{x^2 + 16} \right)^2 dx = 64^2 \int_{0}^{4} \dfrac{1}{(x^2 + 16)^2} dx
Воспользуемся подстановкой:
Пусть x = 4 \tan \theta \Rightarrow dx = 4 \sec^2 \theta d\theta
Тогда:
x^2 + 16 = 16 \tan^2 \theta + 16 = 16(\tan^2 \theta + 1) = 16 \sec^2 \theta
Тогда интеграл становится:
\int \dfrac{1}{(x^2 + 16)^2} dx = \int \dfrac{1}{(16 \sec^2 \theta)^2} \cdot 4 \sec^2 \theta d\theta = \int \dfrac{4 \sec^2 \theta}{256 \sec^4 \theta} d\theta = \int \dfrac{4}{256 \sec^2 \theta} d\theta = \dfrac{1}{64} \int \cos^2 \theta d\theta
Используем формулу:
\cos^2 \theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}
Тогда:
\int \cos^2 \theta d\theta = \dfrac{1}{2} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \dfrac{1}{2} \left( \theta + \dfrac{1}{2} \sin 2\theta \right)
Теперь вернёмся к пределам:
Если x = 0 \Rightarrow \theta = 0
Если x = 4 \Rightarrow \tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4}
Подставим в выражение:
\int_{0}^{4} \dfrac{1}{(x^2 + 16)^2} dx = \dfrac{1}{64} \cdot \dfrac{1}{2} \left[ \theta + \dfrac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\pi/4}
= \dfrac{1}{128} \left[ \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 0 \right] = \dfrac{1}{128} \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot 1 \right) = \dfrac{1}{128} \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right)
Теперь вернёмся к объёму:
V = 2\pi \cdot 64^2 \cdot \left( \dfrac{1}{128} \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) \right) = 2\pi \cdot 4096 \cdot \left( \dfrac{1}{128} \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) \right)
Упростим:
\frac{4096}{128} = 32
V = 2\pi \cdot 32 \cdot \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) = 64\pi \cdot \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right)
V = 64\pi \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) = 64\pi \cdot \left( \dfrac{\pi + 2}{4} \right) = \dfrac{64\pi (\pi + 2)}{4} = 16\pi (\pi + 2)
Ответ:
V = 16\pi(\pi + 2) кубических единиц.