Найти объем вращающегося тела

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление, геометрические приложения интегралов (объёмы тел вращения)

Условие:

Найти объём тела, полученного вращением кривой вокруг оси Ox, заданной уравнением:

y = \dfrac{64}{x^2 + 16}
и
x^2 = 8y

Шаг 1: Определим границы интегрирования

Найдем точки пересечения графиков, чтобы определить границы интегрирования.

Подставим y = \dfrac{64}{x^2 + 16} во второе уравнение:

 x^2 = 8y = 8 \cdot \dfrac{64}{x^2 + 16} 

Умножим обе части на x^2 + 16:

 x^2(x^2 + 16) = 512 

Раскроем скобки:

 x^4 + 16x^2 = 512 

Переносим всё в одну сторону:

 x^4 + 16x^2 - 512 = 0 

Введем замену: u = x^2, тогда:

 u^2 + 16u - 512 = 0 

Решим квадратное уравнение:

 u = \dfrac{-16 \pm \sqrt{16^2 + 4 \cdot 512}}{2} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{256 + 2048}}{2} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{2304}}{2} 

 \sqrt{2304} = 48 \Rightarrow u = \dfrac{-16 \pm 48}{2} 

Получаем:

• u_1 = \dfrac{32}{2} = 16
• u_2 = \dfrac{-64}{2} = -32 (отбрасываем, так как x^2 не может быть отрицательным)

Значит, x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4

Таким образом, границы интегрирования: x \in [-4, 4]

Шаг 2: Найдём объём тела вращения

Так как тело вращается вокруг оси Ox, используем формулу объема тела вращения:

 V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx 

Где f(x) = \dfrac{64}{x^2 + 16}, а a = -4, b = 4

Так как функция чётная (симметрична относительно оси Oy), можно упростить:

 V = 2\pi \int_{0}^{4} \left( \dfrac{64}{x^2 + 16} \right)^2 dx 

Шаг 3: Вычислим интеграл

Рассмотрим:

 \int_{0}^{4} \left( \dfrac{64}{x^2 + 16} \right)^2 dx = 64^2 \int_{0}^{4} \dfrac{1}{(x^2 + 16)^2} dx 

Воспользуемся подстановкой:

Пусть x = 4 \tan \theta \Rightarrow dx = 4 \sec^2 \theta d\theta

Тогда:

 x^2 + 16 = 16 \tan^2 \theta + 16 = 16(\tan^2 \theta + 1) = 16 \sec^2 \theta 

Тогда интеграл становится:

 \int \dfrac{1}{(x^2 + 16)^2} dx = \int \dfrac{1}{(16 \sec^2 \theta)^2} \cdot 4 \sec^2 \theta d\theta = \int \dfrac{4 \sec^2 \theta}{256 \sec^4 \theta} d\theta = \int \dfrac{4}{256 \sec^2 \theta} d\theta = \dfrac{1}{64} \int \cos^2 \theta d\theta 

Используем формулу:

 \cos^2 \theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2} 

Тогда:

 \int \cos^2 \theta d\theta = \dfrac{1}{2} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \dfrac{1}{2} \left( \theta + \dfrac{1}{2} \sin 2\theta \right) 

Теперь вернёмся к пределам:

Если x = 0 \Rightarrow \theta = 0
Если x = 4 \Rightarrow \tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4}

Подставим в выражение:

 \int_{0}^{4} \dfrac{1}{(x^2 + 16)^2} dx = \dfrac{1}{64} \cdot \dfrac{1}{2} \left[ \theta + \dfrac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\pi/4} 

 = \dfrac{1}{128} \left[ \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 0 \right] = \dfrac{1}{128} \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot 1 \right) = \dfrac{1}{128} \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) 

Теперь вернёмся к объёму:

 V = 2\pi \cdot 64^2 \cdot \left( \dfrac{1}{128} \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) \right) = 2\pi \cdot 4096 \cdot \left( \dfrac{1}{128} \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) \right) 

Упростим:

 \frac{4096}{128} = 32 

 V = 2\pi \cdot 32 \cdot \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) = 64\pi \cdot \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) 

Ответ:

 V = 64\pi \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2} \right) = 64\pi \cdot \left( \dfrac{\pi + 2}{4} \right) = \dfrac{64\pi (\pi + 2)}{4} = 16\pi (\pi + 2) 

Ответ:
V = 16\pi(\pi + 2) кубических единиц.