Исследуйте функцию и постройте ее график f(x)=x^3-3x-3

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций и графики

Задача: Исследовать функцию и построить её график
Функция: f(x) = x^3 - 3x - 3

Шаг 1. Область определения функции

Функция f(x) = x^3 - 3x - 3 является многочленом третьей степени, который определён на всей числовой оси:
D(f) = \mathbb{R}.

Шаг 2. Нахождение производной

Для исследования функции найдём её первую производную:
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x - 3) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1).

Шаг 3. Критические точки

Решим уравнение f'(x) = 0:
3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1.

Критические точки: x = -1 и x = 1.

Шаг 4. Исследование знака производной

• При x < -1, возьмём точку x = -2:
  f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0 — функция возрастает.

• При -1 < x < 1, возьмём x = 0:
  f'(0) = 3(0 - 1) = -3 < 0 — функция убывает.

• При x > 1, возьмём x = 2:
  f'(2) = 3(4 - 1) = 9 > 0 — функция возрастает.

Шаг 5. Тип критических точек

• В точке x = -1 функция меняет знак производной с положительного на отрицательный — максимум.
• В точке x = 1 функция меняет знак производной с отрицательного на положительный — минимум.

Шаг 6. Значения функции в критических точках

Вычислим значения функции в критических точках:
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 3 = -1 + 3 - 3 = -1
f(1) = 1^3 - 3(1) - 3 = 1 - 3 - 3 = -5

Шаг 7. Вторые производные

Для уточнения характера экстремумов найдём вторую производную:
f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 - 3) = 6x.

• f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0 — максимум.
• f''(1) = 6(1) = 6 > 0 — минимум.

Шаг 8. Поведение функции на бесконечности

• При x \to +\infty, f(x) \to +\infty (ведущая степень нечетная и коэффициент положительный).
• При x \to -\infty, f(x) \to -\infty.

Итог исследования

• Функция определена на всей числовой оси.
• Имеет максимум в точке x = -1, f(-1) = -1.
• Имеет минимум в точке x = 1, f(1) = -5.
• Возрастает на промежутках (-\infty, -1) и (1, +\infty).
• Убывает на промежутке (-1, 1).

Построение графика

График функции будет кубической кривой с максимумом в (-1, -1) и минимумом в (1, -5), проходящей через точки, например:

• f(0) = -3
• f(2) = 8 - 6 - 3 = -1

Если нужна помощь с построением графика на координатной плоскости, могу показать примерный рисунок или код для построения в Python. Хотите?