Исследовать свойства, включая непрерывность

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Анализ (функции, их свойства и определение пределов)

Разбор задания

Нам дана кусочно-заданная функция:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \ \frac{1}{27}x^3 + \frac{2}{9}x, & 0 < x \leq 3 \ 1, & x > 3 \end{cases} 

Необходимо исследовать её свойства, включая непрерывность.

Проверка непрерывности функции

Функция ( F(x) ) будет непрерывной, если в каждой точке её определения левый и правый пределы совпадают со значением функции.

Проверка в точке ( x = 0 )

• Левый предел:
   \lim\limits_{x \to 0^-} F(x) = 0  (так как ( F(x) = 0 ) при ( x \leq 0 ))
• Правый предел:
   \lim\limits_{x \to 0^+} F(x) = \frac{1}{27} \cdot 0^3 + \frac{2}{9} \cdot 0 = 0 
• Значение функции:
   F(0) = 0 
  Пределы совпадают со значением функции, значит, ( F(x) ) непрерывна в ( x = 0 ).

Проверка в точке ( x = 3 )

• Левый предел:
   \lim\limits_{x \to 3^-} F(x) = \frac{1}{27} \cdot 3^3 + \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{27}{27} + \frac{6}{9} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} 
• Правый предел:
   \lim\limits_{x \to 3^+} F(x) = 1  (так как ( F(x) = 1 ) при ( x > 3 ))
• Значение функции:
   F(3) = \frac{5}{3} 

Так как  \frac{5}{3} \neq 1 , функция разрывна в точке ( x = 3 ).

Вывод

Функция ( F(x) ) непрерывна на интервале ( (-\infty, 3) ), но имеет разрыв первого рода в точке ( x = 3 ).