Исследования функции на монотонность и экстремумы

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций

Для исследования функции y = \frac{x}{x+2} на монотонность и экстремумы, выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции

Функция y = \frac{x}{x+2} определена везде, кроме точки, где знаменатель равен нулю:
x + 2 = 0 \implies x = -2.

Область определения: x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty).

2. Найдем производную функции

Для исследования монотонности и экстремумов функции требуется первая производная. Применим правило дифференцирования дроби:

y = \frac{u}{v}, \quad y' = \frac{u'v - uv'}{v^2},
где u = x, v = x+2.

Найдем производную:
u' = 1, \quad v' = 1.

y' = \frac{(1)(x+2) - (x)(1)}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}.

3. Исследуем знак производной

Производная y' = \frac{2}{(x+2)^2} всегда положительна, так как числитель равен 2 (положительное число), а знаменатель (x+2)^2 — квадрат, который всегда положителен для всех x \neq -2.

Вывод:
Функция y = \frac{x}{x+2} строго возрастает на каждом из промежутков области определения:
x \in (-\infty, -2) и x \in (-2, +\infty).

4. Исследуем экстремумы

Так как производная y' не меняет знак (она всегда положительна), функция не имеет экстремумов.

5. Поведение функции вблизи разрыва

В точке x = -2 знаменатель обращается в ноль, и функция имеет разрыв второго рода. Рассмотрим поведение функции около этой точки:

• Если x \to -2^+, то y \to +\infty.
• Если x \to -2^−, то y \to -\infty.

6. Вывод

1. Функция строго возрастает на промежутках x \in (-\infty, -2) и x \in (-2, +\infty).
2. Экстремумов нет.
3. В точке x = -2 функция имеет разрыв второго рода.