Исследование функции

Для данного задания нам нужно исследовать функцию y = x/(x² - 4). Это относится к предмету "Математика", в частности, к разделу "Анализ функций".

Исследование функции:

1. Область определения:

   Функция имеет вид дроби, где знаменатель не должен быть равен нулю.

   x² - 4 = 0

   x² = 4

   x = ±2

   Область определения: все действительные числа, кроме x = 2 и x = -2.

2. Асимптоты:
   • Вертикальные асимптоты: при x = 2 и x = -2, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.
   • Горизонтальная асимптота: поскольку степень числителя меньше степени знаменателя, горизонтальная асимптота y = 0.
3. Проверка четности функции:

   Заменим x на -x:

   y(-x) = -x/((-x)² - 4) = -x/(x² - 4) = -y(x)

   Функция является нечетной.

4. Производная для нахождения критических точек и исследования на монотонность:

   Найдем производную:

   y' = (1*(x² - 4) - x*(2x))/(x² - 4)²

   y' = (x² - 4 - 2x²)/(x² - 4)²

   y' = (-x² - 4)/(x² - 4)²

5. Точки экстремума и исследование знаков производной:

   Рассмотрим интервал (-∞, -2), (-2, 2), (2, ∞) и подставляем произвольные значения, чтобы определить знак производной.

6. Поведение на интервалах:

   x < -2: y' > 0, функция возрастает.

   -2 < x < 2: y' < 0, функция убывает.

   x > 2: y' > 0, функция возрастает.

7. Графическое поведение:

   Поскольку функция имеет асимптоты при x = ±2 и горизонтальную асимптоту y = 0, она идёт вверх на интервалах (-∞, -2) и (2, ∞), и вниз на интервале (-2, 2).

Таким образом, исследование выявило основные характеристики функции, включая поведение на различных интервалах и при заданных значениях x.