Данное задание связано с предметом "Математика", скорее всего, это раздел "Анализ функции" или "Дифференциальное исчисление".
Давайте рассмотрим функцию y = 12x / (9 + x^2) и разберемся с ней подробнее.
1. Анализ функции:
-
Область определения: Функция y = 12x / (9 + x^2) определена для всех значений x,
поскольку знаменатель (9 + x^2) никогда не равен нулю. Это означает, что функция определяется для всех действительных чисел x.
-
Поведение на бесконечности: Если мы рассмотрим поведение функции при x, стремящемся к бесконечности, числитель 12x и знаменатель 9 + x^2 пропорционально увеличиваются, но квадрат будет расти быстрее линейной функции,
поэтому y будет стремиться к 0. Аналогично для x, стремящегося к минус бесконечности.
-
Четность/нечетность функции: Если заменить x на -x, функция изменит свой знак: y(-x) = -y(x). Следовательно, функция является нечетной.
-
Нули функции: Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение 12x / (9 + x^2) = 0.
Это уравнение равняется нулю, когда числитель равен нулю, то есть при x = 0.
2. Производная функции:
Нам может понадобиться производная функции для нахождения критических точек, экстремумов или исследования на монотонность.
Используем правило производной частного: если u = 12x и v = 9 + x^2, их производные будут u' = 12 и v' = 2x.
Тогда производная y:
y' = (v * u' - u * v') / v^2
Подставим значения:
y' = [(9 + x^2) * 12 - 12x * 2x] / (9 + x^2)^2
y' = (108 + 12x^2 - 24x^2) / (9 + x^2)^2
y' = (108 - 12x^2) / (9 + x^2)^2
Производная y' показывает, как функция изменяется. Если y' > 0 на каком-то интервале, функция возрастает, если y' < 0, то убывает.
Найдем, где производная равна нулю:
108 - 12x^2 = 0
12x^2 = 108
x^2 = 9
x = ±3
Таким образом, x = ±3 — это критические точки.
3. Поведение функции в критических точках:
- Для определения максимумов и минимумов функции необходимо исследовать знаки производной в окрестностях критических точек x = 3 и x = -3.
-
Проведем исследование знаков производной:
- На интервале (-∞, -3): выберем, например, x = -4; подставим -4 в производную, y' < 0.
- На интервале (-3, 3): выберем, например, x = 0; подставим 0, y' > 0.
- На интервале (3, ∞): выберем, например, x = 4; подставим 4, y' < 0.
Видим, что функция убывает на (-∞, -3), возрастает на (-3, 3) и снова убывает на (3, ∞).
Это значит, что в x = -3 минимум, а в x = 3 максимум.
Надеюсь, это поможет вам с анализом функции!