Анализ функции

Данное задание связано с предметом "Математика", скорее всего, это раздел "Анализ функции" или "Дифференциальное исчисление".

Давайте рассмотрим функцию $y=12x/(9+x^2)$ и разберемся с ней подробнее.

1. Анализ функции:

• Область определения: Функция $y=12x/(9+x^2)$ определена для всех значений $x$, поскольку знаменатель $(9+x^2)$ никогда не равен нулю. Это означает, что функция определяется для всех действительных чисел $x$.
• Поведение на бесконечности: Если мы рассмотрим поведение функции при $x$, стремящемся к бесконечности, числитель $12x$ и знаменатель $9+x^2$ пропорционально увеличиваются, но квадрат будет расти быстрее линейной функции, поэтому $y$ будет стремиться к $0$. Аналогично для $x$, стремящегося к минус бесконечности.
• Четность/нечетность функции: Если заменить $x$ на $-x$, функция изменит свой знак: $y(-x)=-y(x)$. Следовательно, функция является нечетной.
• Нули функции: Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение $12x/(9+x^2)=0$. Это уравнение равняется нулю, когда числитель равен нулю, то есть при $x=0$.

2. Производная функции:

Нам может понадобиться производная функции для нахождения критических точек, экстремумов или исследования на монотонность. Используем правило производной частного: если $u=12x$ и $v=9+x^2$, их производные будут $u^{\prime }=12$ и $v^{\prime }=2x$. Тогда производная $y$:

$y^{\prime }=(v\ast u^{\prime }-u\ast v^{\prime })/v^2$

Подставим значения:

$y^{\prime }=[(9+x^2)\ast 12-12x\ast 2x]/(9+x^2{)}^2$

$y^{\prime }=(108+12x^2-24x^2)/(9+x^2{)}^2$

$y^{\prime }=(108-12x^2)/(9+x^2{)}^2$

Производная $y^{\prime }$ показывает, как функция изменяется. Если $y^{\prime }>0$ на каком-то интервале, функция возрастает, если $y^{\prime }<0$, то убывает.

Найдем, где производная равна нулю:

$108-12x^2=0$

$12x^2=108$

$x^2=9$

$x=\pm 3$

Таким образом, $x=\pm 3$ — это критические точки.

3. Поведение функции в критических точках:

• Для определения максимумов и минимумов функции необходимо исследовать знаки производной в окрестностях критических точек $x=3$ и $x=-3$.
• Проведем исследование знаков производной:
  • На интервале $(-\infty ,-3)$: выберем, например, $x=-4$; подставим $-4$ в производную, $y^{\prime }<0$.
  • На интервале $(-3,3)$: выберем, например, $x=0$; подставим $0$, $y^{\prime }>0$.
  • На интервале $(3,\infty )$: выберем, например, $x=4$; подставим $4$, $y^{\prime }<0$.

Видим, что функция убывает на $(-\infty ,-3)$, возрастает на $(-3,3)$ и снова убывает на $(3,\infty )$. Это значит, что в $x=-3$ минимум, а в $x=3$ максимум.

Надеюсь, это поможет вам с анализом функции!

Таким образом, функция имеет минимум в точке $x=-3$ и максимум в точке $x=3$.