Выделить полный квадрат

Предмет: Алгебра
Раздел: Квадратные уравнения и преобразования выражений

Задача состоит в том, чтобы выделить полный квадрат в данном выражении. Рассмотрим уравнение:

4(x^2 - 2x) + 3(y^2 + 4y) - 32 = 0.

Шаг 1. Работа с выражением x^2 - 2x

Выделим полный квадрат для x^2 - 2x. Для этого используем формулу выделения полного квадрата:

a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2.

Здесь x^2 - 2x можно переписать как:

x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1.

Подставим это обратно:

4(x^2 - 2x) = 4((x - 1)^2 - 1) = 4(x - 1)^2 - 4.

Шаг 2. Работа с выражением y^2 + 4y

Теперь выделим полный квадрат для y^2 + 4y. Используем ту же формулу:

y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4.

Подставим это обратно:

3(y^2 + 4y) = 3((y + 2)^2 - 4) = 3(y + 2)^2 - 12.

Шаг 3. Подстановка и упрощение

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

4(x - 1)^2 - 4 + 3(y + 2)^2 - 12 - 32 = 0.

Соберем все константы:

-4 - 12 - 32 = -48,

поэтому уравнение принимает вид:

4(x - 1)^2 + 3(y + 2)^2 - 48 = 0.

Шаг 4. Приведение уравнения к стандартному виду

Перенесем константу -48 в правую часть:

4(x - 1)^2 + 3(y + 2)^2 = 48.

Шаг 5. Итоговый результат

Выделение полного квадрата завершено, и уравнение имеет вид:

4(x - 1)^2 + 3(y + 2)^2 = 48.