Вычислить, расписать все возможные решения

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Решение

Дан определенный интеграл:
\int \left(\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt[3]{x} + 6 \right)dx

Шаг 1: Разбиваем интеграл на отдельные слагаемые

Используем свойство линейности интеграла:
 \int \frac{1}{3} x^3 dx + \int 2 \sqrt[3]{x} dx + \int 6 dx 

Шаг 2: Интегрируем каждое слагаемое

1. Интеграл от \frac{1}{3} x^3:
   Используем формулу интегрирования степенной функции:
   \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
   Тогда:
   \int \frac{1}{3} x^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{12}

2. Интеграл от 2 \sqrt[3]{x}:
   Представим корень в виде степени:
   \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}
   Интегрируем:
   \int 2x^{\frac{1}{3}}dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = \frac{6}{4} x^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}

3. Интеграл от 6:
   \int 6 dx = 6x

Шаг 3: Записываем общий результат

 \frac{x^4}{12} + \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + 6x + C 

Проверка дифференцированием

Дифференцируем полученное выражение:

1. Производная \frac{x^4}{12}:
   \frac{4}{12} x^3 = \frac{1}{3} x^3

2. Производная \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}:
   \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} = 2x^{\frac{1}{3}}

3. Производная 6x:
   6

Суммируем:
\frac{1}{3} x^3 + 2x^{\frac{1}{3}} + 6, что совпадает с исходной функцией.

Ответ:

 \int \left(\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt[3]{x} + 6 \right)dx = \frac{x^4}{12} + \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + 6x + C