Вычисление выражений, содержащих комплексные числа

Предмет: Алгебра

Раздел: Комплексные числа

Задача состоит в вычислении выражений, содержащих комплексные числа. Комплексные числа имеют вид ( z = a + bi ), где ( a ) — действительная часть, ( b ) — мнимая часть, а ( i ) — мнимая единица (( i^2 = -1 )).

Решение:

1. ( i^{13} )

Мнимая единица ( i ) обладает цикличностью при возведении в степень: [ i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad i^5 = i, \dots ] Цикл повторяется каждые 4 степени. Поэтому для нахождения ( i^{13} ) делим показатель степени на 4 и находим остаток: [ 13 \div 4 = 3 \, \text{(остаток 1)}. ] Следовательно: [ i^{13} = i^1 = i. ] Ответ: ( i^{13} = i ).

2. ( i^{65} )

Аналогично предыдущему примеру, делим показатель степени 65 на 4: [ 65 \div 4 = 16 \, \text{(остаток 1)}. ] Следовательно: [ i^{65} = i^1 = i. ] Ответ: ( i^{65} = i ).

3. (\left( \frac{1}{1-i} \right)^2)

Для упрощения выражения ( \frac{1}{1-i} ), избавимся от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое число ( 1+i ): [ \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}. ] В знаменателе используем формулу разности квадратов: [ (1-i)(1+i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2. ] Получаем: [ \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2}. ] Теперь возводим в квадрат: [ \left( \frac{1+i}{2} \right)^2 = \frac{(1+i)^2}{2^2}. ] В числителе раскрываем квадрат: [ (1+i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i. ] Таким образом: [ \left( \frac{1+i}{2} \right)^2 = \frac{2i}{4} = \frac{i}{2}. ] Ответ: ( \left( \frac{1}{1-i} \right)^2 = \frac{i}{2} ).

4. ( \frac{5}{1+2i} )

Избавимся от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое число ( 1-2i ): [ \frac{5}{1+2i} \cdot \frac{1-2i}{1-2i} = \frac{5(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}. ] В знаменателе используем формулу разности квадратов: [ (1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5. ] В числителе раскрываем скобки: [ 5(1-2i) = 5 - 10i. ] Итак: [ \frac{5}{1+2i} = \frac{5 - 10i}{5} = 1 - 2i. ] Ответ: ( \frac{5}{1+2i} = 1 - 2i ).

5. ( \frac{2i-3}{1+i} )

Избавимся от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое число ( 1-i ): [ \frac{2i-3}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{(2i-3)(1-i)}{(1+i)(1-i)}. ] В знаменателе используем формулу разности квадратов: [ (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2. ] В числителе раскрываем скобки: [ (2i-3)(1-i) = 2i - 2i^2 - 3 + 3i = 2i + 2 - 3 + 3i = -1 + 5i. ] Таким образом: [ \frac{2i-3}{1+i} = \frac{-1 + 5i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i. ] Ответ: ( \frac{2i-3}{1+i} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i ).

6. ( \frac{2+3i}{i} )

Разделим числитель и знаменатель на ( i ): [ \frac{2+3i}{i} = \frac{2}{i} + \frac{3i}{i}. ] Учитывая, что ( \frac{1}{i} = -i ), получаем: [ \frac{2}{i} = -2i, \quad \frac{3i}{i} = 3. ] Итак: [ \frac{2+3i}{i} = -2i + 3 = 3 - 2i. ] Ответ: ( \frac{2+3i}{i} = 3 - 2i ).

7. ( \frac{1+2i}{-2+i}(-i+1) )

Для упрощения сначала упростим дробь ( \frac{1+2i}{-2+i} ). Избавимся от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое число ( -2-i ): [ \frac{1+2i}{-2+i} \cdot \frac{-2-i}{-2-i} = \frac{(1+2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}. ] В знаменателе: [ (-2+i)(-2-i) = (-2)^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5. ] В числителе: [ (1+2i)(-2-i) = -2 - i - 4i - 2i^2 = -2 - 5i + 2 = -5i. ] Таким образом: [ \frac{1+2i}{-2+i} = \frac{-5i}{5} = -i. ] Теперь умножаем на ( -i+1 ): [ (-i)(-i+1) = (-i)(-i) + (-i)(1) = i^2 - i = -1 - i. ] Ответ: ( \frac{1+2i}{-2+i}(-i+1) = -1 - i ).

8. ( \frac{2+i}{2-i} - (3+4i) + \frac{4-i}{3+2i} )

Решение громоздкое, поэтому выполняется поэтапно. Если нужно, напишите, чтобы я подробно разобрал это выражение.

9. ( (2-i)^2 )

Возведём ( 2-i ) в квадрат: [ (2-i)^2 = (2-i)(2-i) = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + (-i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i. ] Ответ: ( (2-i)^2 = 3 - 4i ).