Возвести в квадратную степень и решить

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, уравнения

Дано уравнение:
³\sqrt{x^3 - 2} = x - 2

Возведем обе части в квадрат:

(³\sqrt{x^3 - 2})^2 = (x - 2)^2

Так как (³\sqrt{a})^2 = a^{\frac{2}{3}}, то получаем:

(x^3 - 2)^{\frac{2}{3}} = (x - 2)^2

Теперь возведем обе части в степень \frac{3}{2}, чтобы избавиться от дробного показателя:

\left( (x^3 - 2)^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( (x - 2)^2 \right)^{\frac{3}{2}}

Так как (a^m)^n = a^{m \cdot n}, то:

(x^3 - 2)^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = (x - 2)^{2 \cdot \frac{3}{2}}

(x^3 - 2)^1 = (x - 2)^3

Получаем уравнение:

x^3 - 2 = (x - 2)^3

Раскроем куб разности:

x^3 - 2 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8

Перенесем все в одну часть:

x^3 - 2 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0

6x^2 - 12x + 6 = 0

Разделим на 6:

x^2 - 2x + 1 = 0

Разложим на множители:

(x - 1)^2 = 0

Отсюда x - 1 = 0, то есть x = 1.

Проверим корень, подставляя x = 1 в исходное уравнение:

³\sqrt{1^3 - 2} = 1 - 2

³\sqrt{-1} = -1, что верно.

Ответ: x = 1.