Вопрос касается теории групп, а именно, группы вычетов по модулю ( n ) относительно операции умножения

Предмет: Алгебра

Раздел: Теория групп

Вопрос касается теории групп, а именно, группы вычетов по модулю ( n ) относительно операции умножения.

Обозначение ( |Z_{16}^*| ) связано с мультипликативной группой вычетов по модулю ( 16 ). Давайте разберем это понятие шаг за шагом:

1. *Что такое ( Z_{16}^ ):**

   • ( Z_{16}^* ) обозначает множество всех чисел, меньших ( 16 ), которые взаимно просты с ( 16 ).
   • Эти числа формируют группу относительно операции умножения по модулю ( 16 ).

2. *Что означает ( |Z_{16}^| ):**

   • ( |Z{16}^*| ) — это порядок группы ( Z{16}^* ), то есть количество элементов в этой группе.

3. *Как найти ( |Z_{16}^| ):**

   • Для нахождения количества элементов ( Z_{16}^* ) используется функция Эйлера ( \phi(n) ), которая считает количество чисел, меньших ( n ) и взаимно простых с ( n ).
   • Формула для функции Эйлера:
     \phi(n) = n \prod_{p \text{ — простые делители } n} \left(1 - \frac{1}{p}\right)

4. Применим формулу для ( n = 16 ):

   • Простые делители числа ( 16 ): ( p = 2 ).
   • Подставляем в формулу: \phi(16) = 16 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8

5. Ответ:

   • Множество ( Z{16}^* ) содержит ( 8 ) элементов, то есть ( |Z{16}^*| = 8 ).
   • Элементы этой группы: числа ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ), так как они взаимно просты с ( 16 ).

Итог: |Z_{16}^*| = 8.