Установить соответствие между матрицами и их обратными матрицами

Предмет: Алгебра
Раздел: Матрицы и определители

Нам необходимо установить соответствие между матрицами ( A ) и их обратными матрицами ( A^{-1} ). Для этого требуется найти обратные матрицы для каждой из данных матриц ( A ) (если это возможно) и сопоставить их с предложенными вариантами.

Напоминание:

Обратная матрица ( A^{-1} ) существует только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю. Формула для нахождения обратной матрицы:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A),

где:

• ( \det(A) ) — определитель матрицы ( A ),
• ( \text{adj}(A) ) — присоединённая матрица.

Решение:

1. Матрица ( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} )

Определитель: \det(A) = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 4 = 6 + 4 = 10.

Обратная матрица: A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.1 \ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix}.

Соответствие: ( A \to \text{а} ).

2. Матрица ( B = \begin{pmatrix} 9 & -2 \ 7 & -1 \end{pmatrix} )

Определитель: \det(B) = 9 \cdot (-1) - (-2) \cdot 7 = -9 + 14 = 5.

Обратная матрица: B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \ -7 & 9 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \ -7 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.2 & 0.4 \ -1.4 & 1.8 \end{pmatrix}.

Соответствие: ( B \to \text{б} ).

3. Матрица ( C = \begin{pmatrix} -3 & 4 \ -5 & 6 \end{pmatrix} )

Определитель: \det(C) = (-3) \cdot 6 - 4 \cdot (-5) = -18 + 20 = 2.

Обратная матрица: C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -4 \ 5 & -3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -4 \ 5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \ 2.5 & -1.5 \end{pmatrix}.

Соответствие: ( C \to \text{в} ).

Итоговое соответствие:

A \to \text{а}, \, B \to \text{б}, \, C \to \text{в}.

Правильный ответ: 3).