Упростить выражение

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра (Рациональные выражения)

Задано выражение:

 \frac{\frac{-2u^4 + 3u^3 - 3u^2 + u}{2u^2 - u}}{\frac{2u^5 - 3u^4 + 3u^3 - u^2}{2u^2 - u} - 2u^2 + u} 

Наша задача — упростить это выражение. Рассмотрим пошаговое решение:

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Выражение представляет собой дробь вида:

 \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}} 

Где:

• Числитель:
   \frac{-2u^4 + 3u^3 - 3u^2 + u}{2u^2 - u} 

• Знаменатель:
   \frac{2u^5 - 3u^4 + 3u^3 - u^2}{2u^2 - u} - 2u^2 + u 

Шаг 2. Упростим числитель

Числитель имеет вид:

 \frac{-2u^4 + 3u^3 - 3u^2 + u}{2u^2 - u} 

Заметим, что в числителе и знаменателе можно вынести общий множитель:

• В числителе:
   -2u^4 + 3u^3 - 3u^2 + u = u(-2u^3 + 3u^2 - 3u + 1) 

• В знаменателе:
   2u^2 - u = u(2u - 1) 

Подставляем, получаем:

 \frac{-2u^4 + 3u^3 - 3u^2 + u}{2u^2 - u} = \frac{u(-2u^3 + 3u^2 - 3u + 1)}{u(2u - 1)} = \frac{-2u^3 + 3u^2 - 3u + 1}{2u - 1} 

Шаг 3. Упростим знаменатель

Знаменатель имеет вид:

 \frac{2u^5 - 3u^4 + 3u^3 - u^2}{2u^2 - u} - 2u^2 + u 

Упростим первую дробь:

• Числитель:
   2u^5 - 3u^4 + 3u^3 - u^2 = u^2(2u^3 - 3u^2 + 3u - 1) 

• Знаменатель:
   2u^2 - u = u(2u - 1) 

Подставляем, получаем:

 \frac{2u^5 - 3u^4 + 3u^3 - u^2}{2u^2 - u} = \frac{u^2(2u^3 - 3u^2 + 3u - 1)}{u(2u - 1)} = \frac{u(2u^3 - 3u^2 + 3u - 1)}{2u - 1} 

Теперь знаменатель принимает вид:

 \frac{u(2u^3 - 3u^2 + 3u - 1)}{2u - 1} - 2u^2 + u 

Шаг 4. Приведём знаменатель к общему знаменателю

Общий знаменатель равен 2u - 1. Тогда:

1. Первая дробь остаётся неизменной:
    \frac{u(2u^3 - 3u^2 + 3u - 1)}{2u - 1} 

2. Преобразуем второе слагаемое:
    -2u^2 + u = \frac{(-2u^2 + u)(2u - 1)}{2u - 1} 

Раскрываем скобки в числителе второго слагаемого:

 (-2u^2 + u)(2u - 1) = -4u^3 + 2u^2 + 2u^2 - u = -4u^3 + 4u^2 - u 

Итак, второе слагаемое:

 \frac{-4u^3 + 4u^2 - u}{2u - 1} 

Теперь знаменатель имеет вид:

 \frac{u(2u^3 - 3u^2 + 3u - 1)}{2u - 1} - \frac{-4u^3 + 4u^2 - u}{2u - 1} 

Шаг 5. Объединяем дроби в знаменателе

Общий знаменатель: 2u - 1. Объединяем числители:

 u(2u^3 - 3u^2 + 3u - 1) - (-4u^3 + 4u^2 - u) 

Раскрываем скобки:

 u(2u^3 - 3u^2 + 3u - 1) + 4u^3 - 4u^2 + u = 2u^4 - 3u^3 + 3u^2 - u + 4u^3 - 4u^2 + u 

Собираем подобные члены:

 2u^4 + ( -3u^3 + 4u^3 ) + ( 3u^2 - 4u^2 ) + ( -u + u ) = 2u^4 + u^3 - u^2 

Итак, знаменатель равен:

 \frac{2u^4 + u^3 - u^2}{2u - 1} 

Шаг 6. Подставляем упрощённые выражения

Теперь выражение принимает вид:

 \frac{\frac{-2u^3 + 3u^2 - 3u + 1}{2u - 1}}{\frac{2u^4 + u^3 - u^2}{2u - 1}} 

Деление дробей заменяем умножением, переворачивая вторую дробь:

 \frac{-2u^3 + 3u^2 - 3u + 1}{2u - 1} \cdot \frac{2u - 1}{2u^4 + u^3 - u^2} 

Сокращаем на 2u - 1 (если 2u - 1 \neq 0):

 \frac{-2u^3 + 3u^2 - 3u + 1}{2u^4 + u^3 - u^2} 

Ответ:

Упрощённое выражение:

 \frac{-2u^3 + 3u^2 - 3u + 1}{2u^4 + u^3 - u^2}